Периметр трикутника MNK дорівнює 64 см, NK = 24 cм, сторона MN в 1,5 рази менше за MN. Доведіть, що кут M = куту K
Виконайте до 21:30
Пажалуста
Ответы
Ответ:
Позначимо сторону MN через х. Оскільки сторона MN в 1,5 рази менше за сторону NK, то МK = NK + MN = 24 + x. За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника MNK маємо:
MK² = MN² + NK²
Підставляємо вирази для MK, MN і NK і спрощуємо:
(24 + x)² = x² + (1,5x)²
576 + 48x + x² = 2,25x² + x²
3x² - 48x + 576 = 0
x² - 16x + 192 = 0
(x - 8)(x - 24) = 0
Таким чином, отримуємо два значення для сторони MN: x = 8 або x = 24. Оскільки сторона MN менша за сторону NK, то можна відкинути рішення x = 24. Отже, x = 8, MN = 8 см, а MK = 24 + 8 = 32 см.
Тепер розглянемо кути M і K. Позначимо кути N, M і K через α, β і γ відповідно. Оскільки периметр трикутника MNK дорівнює 64 см, то сторона NK дорівнює 24 см, а сторона MN дорівнює 8 см. Тому:
NK + MN + KM = 24 + 8 + KM = 64
KM = 32
З теореми косинусів для трикутника MKL маємо:
MK² = ML² + KL² - 2ML⋅KL cos γ
Підставляємо відомі значення:
32² = ML² + KL² - 2ML⋅KL cos γ
Розкриваємо дужки і спрощуємо:
1024 = ML² + KL² - 64 cos γ
З теореми синусів для трикутника MKL маємо:
KL / sin γ = MK / sin α
Оскільки кути α і β доповнюються до 180°, то sin α = sin β, а отже sin γ = sin β = sin α. Підставляємо відомі значення:
KL / sin α = 32 / sin α
KL = 32
Знову застосовуємо теорему синусів:
ML / sin β = KL / sin γ = 32 / sin α
ML = 32 sin β / sin α
З теореми косинусів для трикутника MLN маємо:
ML² = MN² + NL² - 2
Объяснение: