Найди площадь поверхности S многогранника, вершины которого являются центрами октаэдра с ребром 3 корень из 6
.
Ответы
Октаэдр с длиной ребра 3 корня из 6 имеет 8 вершин, каждая на расстоянии 3 корня из 6/2 от центра. Это означает, что каждая вершина лежит на сфере с радиусом 3 корня из 6 / 2 = (3/2) корня из 6.
Вершины октаэдра также являются серединами ребер куба с длиной ребра 3 корень из 6 / корень из 2 = 3 корень из 3. Следовательно, расстояние между противоположными вершинами октаэдра равно диагонали куба , то есть 3 корень из 3.
Октаэдр можно разделить на 8 конгруэнтных треугольных пирамид, каждая из которых имеет площадь основания, равную площади равностороннего треугольника с длиной ребра, равной расстоянию между противоположными вершинами октаэдра, которое равно 3 корню из 3. Используя формулу площади равностороннего треугольника имеем:
базовая площадь = (sqrt(3)/4) * (3 корень из 3)^2 = (9 sqrt(3))/4
Высота каждой пирамиды равна расстоянию между вершиной и центром октаэдра, что составляет (3/2) корень из 6. Следовательно, объем каждой пирамиды равен:
объем = (1/3) * площадь основания * высота = (1/3) * (9 кв. м (3)) / 4 * (3/2) корень из 6 = (9 кв. м (2)) / 4
Площадь поверхности октаэдра равна сумме площадей восьми треугольных граней. Следовательно, общая площадь поверхности многогранника равна:
S = 8 * площадь основания = 8 * (9 кв. м (3)) / 4 = 18 кв. м (3)
Следовательно, площадь поверхности многогранника, вершины которого являются центрами октаэдра с ребром 3, корнем из 6, равна 18 sqrt(3).