Доведіть, що лінійна швидкість руху планет максимальна в перигелії її орбіти, а мінімальна – в афелії.
Ответы
Ответ: В общем случае орбитальная скорость планеты, в зависимости от величины центральной массы (М) и расстояния от планеты до центральной массы (S), определяется выражением:
V = √G*M*{(2/S) – (1/A)}
здесь А – большая полуось орбиты планеты.
Анализируя это уравнение, мы видим, что при увеличении расстояния S, сумма в скобках в подкоренном выражении, уменьшается, так как первое слагаемое (2/S) уменьшается. Следовательно, и подкоренное выражение уменьшается при увеличении S. А раз уменьшилось подкоренное выражение, то, естественно, и корень этого выражения уменьшился, т.е. уменьшилась скорость.
При уменьшении величины S первое слагаемое возрастает, значит и возрастает подкоренное выражение. И, соответственно, возрастает и корень из этого выражения. Значит, возрастает скорость.
Впрочем, все это можно объяснить и логически, на основе закона сохранения энергии. Так как планета обращаются вокруг Солнца, то она имеет некоторую энергию. Поскольку орбита планеты не круговая, а эллиптическая, то планета обладает некоторой энергией, которая равна сумме кинетической и потенциальной энергий планеты. И эта сумма энергий остается неизменной для любой точки орбиты. Таким образом, при движении планеты к афелию, её потенциальная энергия возрастает, так как расстояние между планетой и Солнцем растет. Если растет потенциальная энергия, значит, кинетическая энергия уменьшается, А так как масса планеты неизменна, то уменьшается орбитальная скорость планеты, и в афелии скорость планеты становится минимальной. Когда планета движется из афелия к перигелию, то такое движение планеты можно сравнить с падением планеты на Солнце. При падении, как известно скорость растет. Таким образом, при движении планеты из афелия к перигелию потенциальная энергия планеты уменьшается, а кинетическая энергия растет. И скорость возрастает и в перигелии становится максимальной.