Question

срочноооо. У трикутник NKI, вписано коло а центром О; А. В. С точки дотику коли відпо BAHO o ropin KL, LN, NK. доведіть що AK+NB-CK+NC.
​

Answer 1

‍Дано вписанный треугольник NKI и окружность с центром O, касающуюся сторон AB, BC и CA в точках K, L и N соответственно. Чтобы доказать, что AK + NB - CK + NC, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольников АКО, ВКО, ВЛО, СЛО, СНО и АНО.
Рассмотрим треугольники:
- AKO: AK² = AO² - OK²
- BKO: BK² = BO² - OK²
- BLO: BL² = BO² - OL²
- CLO: CL² = CO² - OL²
- CNO: CN² = CO² - ON²
- ANO: AN² = AO² - ON²
Сложим первые четыре уравнения, вычитая последнее:
AK² + BK² - BL² - CL² = AO² - ON² - CO² + OL²
Аналогично, сложим два последних уравнения, вычитая первое:
CN² - AN² = CO² - AO²
Заменим AK² + BK² - BL² - CL² в первом уравнении на правую часть второго уравнения, получим:
(CN² - AN²) + 2NB - (BL² - AL²) - 2CK = 0
Теперь заменим BL² - AL² на правую часть уравнения для BLO, а также заменим CN² - AN² на правую часть уравнения для СНО. Получим:
2NB - 2CK + 2OA - 2CO = 0
Или же:
AK + NB - CK + NC = 2CO - 2OA
Таким образом, мы показали, что AK + NB - CK + NC равно 2CO - 2OA. Нам осталось лишь доказать, что это значение равно нулю.
Рассмотрим треугольник ABC и соответствующий ему треугольник ОKL, имеющий ту же самую высоту OH. Тогда OC и OA являются высотами в этих треугольниках, и CO = R, где R - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Так как треугольник NKI вписан в окружность с центром O, то OH - биссектриса угла KHN. Таким образом, мы получаем:
AK + KB + AB = AN + NC + AC
AK + NB - CK + NC = AB + AC - KB - AN - 2CO
Заметим, что AB + AC = BC, а KB + AN = BN, поскольку KN - это биссектриса угла ВАС. Тогда мы можем записать:
AK + NB - CK + NC = BC - BN - 2CO
Но BN = 2R, где R - это радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно,
AK + NB - CK + NC = BC - 4R
Но мы знаем, что BC = 2R(sinA+sinC), поскольку она может быть выражена через синусы углов треугольника АВС. Таким образом,
AK + NB - CK + NC = 2R(sinA+sinC) - 4R
AK + NB - CK + NC = 2R(sinA-sinB) - 4R
Но мы также знаем, что sinA-sinB = sinC, поскольку sinA+sinB+sinC=2, а также что AK + NB - CK + NC = 2CO - 2OA. Таким образом, мы получаем:
AK + NB - CK + NC = 2R(sinC)