Скільки коренів має рівняння х⁴+5x²+4=0? Показати як ви це знайшли.
А. Один.
Б. Два.
В. Чотири.
Г. Жодного.
Ответы
x² = t.
t² + 5t + 4 = 0
D = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * 4 = 9
t₁ = (-b + √D) / 2a = (-5 + √9) / 2 = -1
t₂ = (-b - √D) / 2a = (-5 - √9) / 2 = -4
Так как t не может быть отрицательным числом, то уравнение x⁴ + 5x² + 4 = 0 не имеет корней.
(лучший ответ, прошу!)
Відповідь: Б
Пояснення:Щоб знайти кількість коренів рівняння, можна скористатися теоремою про кількість коренів рівняння з коефіцієнтами в комплексній площині.
Згідно з цією теоремою, кількість коренів рівняння з коефіцієнтами в комплексній площині дорівнює ступеню цього рівняння. Таким чином, рівняння x⁴+5x²+4=0 має 4 корені в комплексній площині, оскільки його ступінь дорівнює 4.
Проте, зауважимо, що можливо всі корені цього рівняння є дійсними. Для того, щоб перевірити цю можливість, необхідно розв'язати рівняння x⁴+5x²+4=0.
Проведемо заміну y = x². Тоді рівняння можна переписати у вигляді:
y² + 5y + 4 = 0.
Знайдемо корені цього квадратного рівняння:
D = 5² - 4 * 4 = 9,
y₁ = (-5 + √9) / 2 = -1,
y₂ = (-5 - √9) / 2 = -4.
Звідси знаходимо корені вихідного рівняння, використовуючи зворотню заміну:
для y₁: x² = -1 не має дійсних розв'язків,
для y₂: x² = -4, тобто x = ±2i.
Отже, рівняння x⁴+5x²+4=0 має два дійсних корені, а саме x = 2i та x = -2i.