В 8-угольнике
ABCDEFGH выполнены равенства угол B = углу D = углу F = углу H = 90°,
HA = AB = DE = EF = 4, BC = CD = FG = GH = 5.
Найдите:
a) угол между диагоналями AE и CG;
б) максимальную площадь такого 8- угольника.
Ответы
Ответ:
a) Угол между диагоналями AE и CG равен 45°.
Для решения этой задачи можно заметить, что диагонали AE и CG пересекаются в точке O, которая является центром вписанной окружности в 8-угольник ABCDEFGH. Также можно заметить, что треугольники AOH и COG являются равнобедренными прямоугольными треугольниками, так как угол AOH равен 45° (так как угол AOB равен 90° и угол BOH равен 45°), а стороны AO и OH равны друг другу, аналогично COG.
Таким образом, угол между диагоналями AE и CG равен углу AOC, который составляет половину угла AOH, то есть 45°.
Ответ: угол между диагоналями AE и CG равен 45°.
б) Максимальная площадь 8-угольника равна 48.
Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой для площади восьмиугольника, которая имеет вид:
S = 2R^2(sinα + sinβ + sinγ + sinδ)
где R - радиус вписанной окружности, α, β, γ, δ - углы между диагоналями 8-угольника.
Мы уже нашли угол между диагоналями AE и CG в предыдущем пункте - это 45°. Также можно заметить, что угол между диагоналями AC и EG также равен 45°. Следовательно, углы α и γ равны 45°. Осталось найти углы β и δ.
Мы знаем, что угол B = углу D = углу F = углу H = 90°. Также можно заметить, что треугольники ABH и CDH являются прямоугольными треугольниками, а стороны AB и CD равны друг другу, аналогично треугольникам EFG и GHF. Следовательно, углы β и δ равны 135°.
Теперь можем подставить все значения углов в формулу для площади восьмиугольника:
S = 2R^2(sin45° + sin135° + sin45° + sin135°) = 2R^2(1 + √2)
Заметим, что максимальная площадь достигается при максимальном значении радиуса вписанной окружности. Радиус вписанной