Question

Известно, что в прямоугольном треугольнике FKM с прямым углом KFM гипотенуза КМ = 8, площадь данного треугольника равна 8.
Найди величину острых углов треугольника FKM, если ∠K больше ∠М.
(Приложи фотографию своего решения для проверки учителем.)

Answer 1

Ответ: ∠K = 75°, ∠M = 15°.

Решение:

FM = 8*cos∠M; FK = 8*sin∠M.

SΔFKM = (FM*FK)/2 = 8.

Следовательно, (64 * sin∠M * cos∠M)/2 = 8.

sin∠M * cos∠M = $\frac{16}{64}$ = $\frac{1}{4}$.

Пусть sin∠M = x.

x*√(1-x²) = $\frac{1}{4}$

x²(1-x²) = $\frac{1}{16}$

x²- x⁴ + $\frac{1}{16}$ = 0

x⁴ - x² + $\frac{1}{16}$ = 0.

Пусть x² = a.

a² - a + $\frac{1}{16}$ = 0.

D = 1 - $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$; √D = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

a₁ = $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2 * 2} = \frac{2 - \sqrt{3} }{4}$;

a₂ = $\frac{2 + \sqrt{3} }{4}$.

1. a = $\frac{2 - \sqrt{3} }{4}$.

x₁ = $\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$;

x₂ = -x₁ < 0 - не имеет смысла.

2. a = $\frac{2 + \sqrt{3} }{4}$.

x₁ = $\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$ ;

x₂ = -x₁ < 0 - не имеет смысла.

sin∠M = $\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ или sin∠M = $\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$.

Перевести в градусы можно по таблице Брадиса.

∠M = 15° или ∠M = 105° (что не имеет смысла).

∠K = 90° - ∠M = 75°.