Ділення многочленів, теорема Безу
Розв’яжіть рівняння:
1) x² + 9х² + 23x + 15 = 0;
2) 2x³ - x² - 5x - 2 = 0;
Ответы
Ответ:
Для розв'язання цих рівнянь необхідно спочатку знайти їхні дійсні корені. Для цього можна скористатися теоремою Безу і методом ділення многочленів.
Объяснение:
1) x² + 9х² + 23x + 15 = 0;
Спочатку визначимо, чи є корені цього многочлена раціональними числами. За теоремою Безу, раціональний корінь многочлена буде ділителем вільного члена (15) за модулем, тобто можливими коренями є ±1, ±3, ±5, ±15.
Перевіримо кожне з цих значень, застосовуючи метод ділення многочленів:
- Для x = -1: (-1)² + 9(-1)² + 23(-1) + 15 = 0, отже x = -1 є коренем.
- Для x = -3: (-3)² + 9(-3)² + 23(-3) + 15 = 96 ≠ 0, отже x = -3 не є коренем.
- Для x = -5: (-5)² + 9(-5)² + 23(-5) + 15 = -40 ≠ 0, отже x = -5 не є коренем.
- Для x = -15: (-15)² + 9(-15)² + 23(-15) + 15 = -1470 ≠ 0, отже x = -15 не є коренем.
За допомогою методу ділення многочленів можна поділити многочлен на (x + 1) і отримати квадратний многочлен: x² + 8x + 15 = 0. Його корені можна знайти за допомогою формули для квадратного рівняння: x₁ = -3, x₂ = -5.
Отже, корені початкового рівняння: x₁ = -1, x₂ = -3, x₃ = -5.
2) 2x³ - x² - 5x - 2 = 0;
Знову скористаємося теоремою Безу, щоб визначити можливі раціональні корені. Відповідно до теореми, раціональний корінь многочлена буде ділителем останнього члена (2) за модулем, тобто можливими коренями є ±1, ±2.
Перевіримо кожне з цих значень, застосовуючи метод ділення многочленів:
- Для x = -1: 2(-1)³ - (-1)² - 5(-1) - 2 = 0, отже x = -1 є коренем.
- Для x = -2: 2(-2)³ - (-2)² - 5(-2) - 2 = 0, отже x = -2 є коренем.
За допомогою методу ділення многочленів можна поділити многочлен на (x + 1) і отримати квадратний многочлен: 2x² - 3x - 2 = 0. Його корені можна знайти за допомогою формули для квадратного рівняння: x₁ = -1/2, x₂ = 2.
Отже, корені початкового рівняння: x₁ = -1, x₂ = -1/2, x₃ = 2.