Предмет: Геометрия,
автор: vvolan15ka
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!
Дан куб ABCDAB1C1D1 .Точки K, L, M - середины ребер ВB, A1D1 и CD.Тогда сечение куба плоскостью KLM:
ГАЗ52:
Ну косинус200, Вы даёте! С некоторого места придётся заново перечитывать комменты.
Ну раз вам понравилось :))))))))))))) Давайте возьмем более известную задачу про плоскость, проходящую через три вершины, соседние с одной. Ясно, что там в сечении правильный треугольник - просто потому, что все стороны равны - это диагонали граней. Но вот доказать, что сечение перпендикулярно большой диагонали, уже требует каких-то усилий, пусть и небольших.
Однако, смотрите, что дает координатный подход. Если начало координат расположить в этой "одной" точке, а оси пустить по ребрам, то речь идет о плоскости, проходящей через точки (1,0,0) (0,1,0) и (0,0,1). Можно, конечно, вспомнить уравнение "в отрезках", но пусть я его не знаю (на время). Но я же сразу вижу, что для всех трех точек x+y+z=1; это по форме - уравнение плоскости, а через 3 точки можно провести только одну плоскость. Ага, очень хорошо.
(Я принял ребро куба за 1.) А что известно про плоскость с уравнением x+y+z=1;? Ну, во-первых, она проходит через точку (1/3,1/3,1/3). Во-вторых, его можно переписать в форме (x-1/3) + (y-1/3) + (z- 1/3) = 0; а последнее означает, что любой вектор в плоскости перпендикулярен вектору (1,1,1). Кто понимает, почему?
Потому что у вектора с кординатами (x-1/3, y-1/3, z-1/3) и начало (1/3,1/3,1/3), и конец (x,y,z) лежат в плоскости. А уравнение плоскости - это просто скалярное произведение такого вектора на (1,1,1). Именно так и доказывается в общем случае, что плоскость ax+by+cz+d=0; перпендикулярна вектору (a,b,c); - по сути, это просто небольшое изменение ФОРМЫ записи уравнения.
Все это было очень просто. Осталось заметить, что (1,1,1) это вектор большой диагонали, и что плоскость x+y+z=1 отсекает на ней ровно 1/3. Для тех, кто хотя бы "учил", все это - как азбука. Не просто, и даже не очень просто, а - проще простого. Так подробно я расписал это для тех, кто даже не "учил" :))))
А что же с плоскостью через три точки, ближайшие к противоположному концу диагонали? Можно сослаться на симметрию, но пусть я не знаю этого умного слова (временно). Речь идет о точках (1,1,0)(1,0,1) и (0,1,1); x+y+z=2; проходит через точку (2/3,2/3,2/3) на большой диагонали и перпендикулярна ей. Аналогично предыдущему случаю. И - уж совсем лишнее, но обе плоскости очевидно параллельны, и делят большую диагональ на три равные части.
А если у нас есть такая задачка - составить уравнения граней тетраэдра, вписанного в куб, так, что вершины его совпадают с вершинами куба. Одну такую грань я только что сделал, три другие получаются, если одну из точек (1,0,0) (0,1,0) и (0,0,1) заменить на (1,1,1). На примере, если это треться точка, то есть плоскость проходит через точки (1,0,0) (0,1,0) и (1,1,1) уравнение просто x+y-z=1; "минус" будет у "замененной" координаты.
"треться" это третья с буквой "с" там, где не надо.
Полученное уравнение сразу показывает, где плоскость x+y-z=1 пересечет ось Z (то есть продолжение ребра A1A за точку A). А где?
Ответы
Автор ответа:
2
Ни одна пара точек K L M не лежит в одной грани, поэтому используем проекцию.
Спроецируем прямую LK на плоскость ABC.
Опустим перпендикуляры из точек L и K на плоскость.
Точка L упадет в середину отрезка AD.
Точка K упадет в точку В.
L1B - проекция LK на плоскость ABC.
Прямые LK и L1B пересекаются в точке X в плоскости ABC.
Теперь можем провести прямую MX в плоскости ABC и найти точку P на ребре BC.
Далее проводим параллельные и находим остальные точки.
LQ||KP ; LR||MP
KPMQLR - сечение
Найдем отношение BP:PC
KB||LL1, KB=LL1/2 => KB - средняя линия △LXL1 => L1B=BX
L1B=BX=BM => ∠L1MX=90
∠L1MD=45 => ∠PMC=45 => △PMC -р/б, PC=MC=BC/2
Или продлим L1X до пересечения с DC в точке Y.
L1Y=L1B, YD=DC.
т Менелая для YCB и секущей MX
YM/MC *CP/PB *BX/XY =1 => 3/1 *CP/PB *1/3 =1 => CP/PB=1/1
Приложения:
Что, тяжело на чертёж текст задачи написать? А вообще спасибо.
И точку У не поставили???
условие на чертеже есть - точки KLM выделены
"на чертёж текст задачи написать" НЕ РАВНО "точки KLM выделены". Да,ладно ещё раз спасибо за решение.
так-то cos прав, задача устная. KLM равносторонний, в силу симметрии перпендикулярен диагонали. Три другие точки опять в силу симметрии образуют равный треугольник на той же оси.
Ну ладно. Устная, значит устная. Значит всё поняли и с ходу решили. Один только дурак не понял ( пальцем не показывать )
Похожие вопросы
Предмет: География,
автор: Serikkbay
Предмет: Алгебра,
автор: yarikuzmenko88
Предмет: Українська література,
автор: danabrodkevych2011
Предмет: Математика,
автор: klukvinigor8372
Предмет: Русский язык,
автор: anastasiakosteva70