Question

В школе 100 учеников. 42 ученика изучают английский язык, французский – 28, немецкий – 30,
немецкий и французский – 8, английский и французский – 10, немецкий и английский – 5. Число
учеников, изучающих все эти три языка – 3. Сколько учеников не изучают ни один из этих языков?

Answer 1

Ответ:

Обозначим через А — множество школьников, знающих английский язык; N — множество школьников, знающих немецкий язык; F — множество школьников, знающих французский язык.

Тогда n(A) = 42, n(N) = 30, n(F) = 28, n(A ∩ N) = 5,

n(A ∩ F) = 10, n(N ∩ F) = 8, n(A ∩ N ∩ F) = 3.

Найдем с помощью формулы включений и исключений количество школьников, знающих хотя бы один из перечисленных иностранных языков.

n(A ∪ N ∪ F) = n(A) + n(N) + n(F) =

= n(A ∩ N) – n(A ∩ F) – n(N ∩ F) + n(A ∩ N ∩ F) =

= 42 + 30 + 28 – 5 – 10 – 8 + 3 = 80.

Следовательно, не знают ни одного иностранного языка:

100 – 80 = 20 школьников.