Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением y=ln(cosx)+2 при 0<=x<=pi/6 оформить с рисунком и объяснением всего, желательно сделать на листке и прислать файлом
Ответы
Для вычисления длины дуги на данном интервале мы можем использовать формулу:
L = интеграл от a до b [sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx]
Для этой кривой, dy/dx = -tan(x) * sin(x) / (cos(x))^2, поэтому:
L = интеграл от 0 до pi/6 [sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx]
= интеграл от 0 до pi/6 [sqrt(1 + (tan(x) * sin(x) / (cos(x))^2)^2) dx]
= интеграл от 0 до pi/6 [sqrt(1 + (sin^2(x) / cos^2(x))) dx]
= интеграл от 0 до pi/6 [sqrt((cos^2(x) + sin^2(x)) / cos^2(x)) dx]
= интеграл от 0 до pi/6 [sqrt(1 / cos^2(x)) dx]
= интеграл от 0 до pi/6 [1 / cos(x) dx]
Для вычисления этого интеграла мы можем воспользоваться заменой переменных u = tan(x), поэтому:
du/dx = sec^2(x)
dx = du / sec^2(x)
cos(x) = 1 / sqrt(u^2 + 1)
Тогда интеграл примет вид:
L = интеграл от 0 до sqrt(3)/3 [1 / cos(x) dx]
= интеграл от 0 до sqrt(3)/3 [sqrt(u^2 + 1) du]
= [1/2 (u * sqrt(u^2 + 1) + ln(u + sqrt(u^2 + 1)))] от 0 до sqrt(3)/3
= 1/2 (sqrt(3)/3 * sqrt(4/3) + ln((sqrt(3)/3) + sqrt(4/3)))
≈ 0.5098
Результат вычислений показывает, что длина дуги кривой y=ln(cosx)+2 при 0<=x<=pi/6 составляет примерно 0.5098.