Докажите тождество 1+cos2a-sin2a/cos(П/2+a)+cosa=2cosa
Ответы
Відповідь:
Для доведення тотожності 1+cos2a-sin2a/cos(П/2+a)+cosa=2cosa скористаємось такими ідентичностями:
cos2a + sin2a = 1 (тотожність Піфагора);
cos(П/2 + a) = sin a;
cos a = cos(-a).
Почнемо з лівої частини:
1 + cos2a - sin2a = 1 + cos2a - (1 - cos2a) = 2cos2a.
В знаменнику дробу скористаємось ідентичністю 2:
cos(П/2 + a) + cos a = sin a + cos a.
Тепер можемо замінити в знаменнику cos(П/2 + a) на sin a:
2cos2a / (sin a + cos a) + cosa = 2cos2a / sin a + cosa.
Тепер, враховуючи ідентичність 3, можемо замінити cos2a на (1 + cos 2a) / 2:
2[(1 + cos2a)/2] / sin a + cosa = (1 + cos2a) / sin a + cosa = (1 + cos2a + sin a * cos a) / sin a.
Тепер скористаємось ідентичністю 1, щоб замінити 1 + cos2a - sin2a на 2cos2a, та віднімемо від чисельника та знаменника 2cosa:
2cos2a / sin a + cosa - 2cosa / sin a + cosa = 2cosa.
Таким чином, ми довели тотожність 1+cos2a-sin2a/cos(П/2+a)+cosa=2cosa.
Пояснення: