Математичний маятник, коливаючись з амплітудою 10 см, виконує 8 коливань за 16 с
Знайдіть:
1) складіть рівняння залежності швидкості від часу;
2) повну енергію коливань, якщо маса тіла, що коливається 50 г.
Ответы
Ответ:
Для математичного маятника період коливання T і частота коливань f пов'язані з довжиною маятника L наступними формулами:
T = 2π√(L/g)
f = 1/T
де g - прискорення вільного падіння, приблизно 9,8 м/с².
1) Щоб знайти залежність швидкості від часу, спочатку потрібно знайти амплітуду коливань та частоту коливань. За умовою задачі амплітуда A = 10 см = 0,1 м. Також, маємо, що 8 коливань займають 16 с, тому частота коливань:
f = 8 коливань / 16 с = 0,5 Гц
Тепер можемо скласти рівняння залежності швидкості від часу, використовуючи формулу для амплітудного коливання:
x = A * sin(2πft)
де x - координата маятника в данний момент часу t. Щоб отримати швидкість v від часу t, можна взяти похідну від цієї формули за часом:
v = dx/dt = 2πfA * cos(2πft)
Отже, рівняння залежності швидкості від часу:
v = 2π * 0,5 Гц * 0,1 м * cos(2π * 0,5 Гц * t) = π * cos(πt) м/с
2) Повна енергія коливань математичного маятника складається з потенціальної та кінетичної енергій. У стаціонарному режимі коливання їхня сума залишається постійною і рівною механічній енергії.
Механічна енергія коливань може бути виражена як
E = mgh + (1/2)mv^2,
де m - маса маятника, h - висота, на яку підійде маятник відносно його положення рівноваги, v - швидкість маятника.
Вважаючи, що положення рівноваги співпадає з нульовою координатою, то висотаh = A - A * cos(2πft) = 0,1 м - 0,1 м * cos(2π * 0,5 Гц * t)
Тоді повна енергія коливань може бути виражена як:
E = mgh + (1/2)mv^2
= mg(A - A*cos(2πft)) + (1/2)mv^2
= 0,05 кг * 9,8 м/с² * (0,1 м - 0,1 м * cos(2π * 0,5 Гц * t)) + 0,025 кг * (π * cos(πt) м/с)²
= 0,49 Дж + 0,0123 Дж * cos²(πt)
Отже, повна енергія коливань становить 0,49 Дж + 0,0123 Дж * cos²(πt), де t вимірюється в секундах.