Хорда перетинає діаметр кола під кутом 30° і ділить його на відрізки завдовжки 15 см і 5 СМ. Знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди
Ответы
Объяснение:
Хорда перетинає діаметр кола під кутом 30° і ділить його на відрізки завдовжки 15 см і 5 см. Знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди
Нехай O — центр кола, AB — хорда, що перетинає діаметр CD в точці E, а OE — x см.
Оскільки AB — хорда, яка перетинає діаметр під кутом 30°, то ∠AED = 90° (оскільки AE перпендикуляр до CD) і ∠AEO = 30° (оскільки OE перпендикуляр до AB).
Назвемо довжину AD (яка також є діаметром кола) d. Тоді, використовуючи тригонометрію в трикутнику AEO, ми можемо записати:
tan 30° = (AE / OE) = (d/2 - 5) / x
Спрощуючи, отримуємо:
√3 = (d/2 - 5) / x
Крім того, використовуючи теорему Піфагора в трикутнику AED, ми можемо записати:
AD² = AE² + ED²
Підставляючи задані довжини, отримуємо:
d² = (15 + x)² + (d/2)²
Спрощуючи, отримуємо:
d² - 225 = x² + 30x
Тепер у нас є два рівняння та два невідомих (x і d), які ми можемо розв’язати одночасно, щоб отримати значення:
√3 = (d/2 - 5) / x ... рівняння (1)
d² - 225 = x² + 30x ... рівняння (2)
З рівняння (1) ми можемо виразити d через x:
d = 2x√3 + 10
Підставляючи це в рівняння (2), ми отримуємо:
(2x√3 + 10)² - 225 = x² + 30x
Спрощуючи та вирішуючи для x, ми отримуємо:
x = 5(√3 + 1)
Підставляючи це значення x у вираз для d, отримуємо:
d = 20(√3 + 1)
Отже, відстань від центру кола до хорди дорівнює:
OE = x = 5(√3 + 1) см.