Question

Математический анализ. Нужно вычислить интеграл, используя метод подстановки ​

Answer 1

Ответ.

Метод подстановки . Заменяем линейную функцию на новую переменную . Получаем табличные интегралы .

$\bf \displaystyle 1)\ \ \int \Big(-\frac{1}{3}\, cos\Big(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{4}\Big)\Big)\, dx=\Big[\ t=\frac{x}{3}-\frac{\pi }{4}\ ,\ dt=\frac{1}{3}\, dx\ ,\ dx=3\, dt\ \Big]=\\\\\\=-3\int cos\, t\, dt=-3\, sint+C=-3\, sin\Big(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{4}\Big)+C$  

$\bf \displaystyle 2)\ \ \int \frac{2\, dx}{cos^2\Big(\dfrac{\pi }{3}-x\Big)}=\Big[\ t=\frac{\pi }{3}-x\ ,\ dt=-dx\ ,\ dx=-dt\ \Big]=\\\\\\=-\int \frac{2\, dt}{cos^2\, t}=-2\cdot tg\, t+C=-2\cdot tg\Big(\frac{\pi }{3}-x\Big)+C$  

$\bf \displaystyle 3)\ \ \int \Big(-\frac{2}{x^5}+\frac{1}{cos^2(3x-1)}\Big)\, dx=-2\int x^{-5}\, dx+\int \frac{dx}{cos^2(3x-1)}=\\\\\\=\Big[\ t=3x-1\ ,\ dt=3\, dx\ ,\ dx=\frac{1}{3}\, dt\ \Big]=\\\\\\=-2\cdot \frac{x^{-4}}{-4}+\frac{1}{3}\int \frac{dt}{cos^2\, t}=\frac{1}{2\, x^4}+\frac{1}{3}\cdot tg\, t+C=\frac{1}{2x^4}+\frac{1}{3}\cdot tg(3x-1)+C$