Question

Срочнооо пожалуйста!!!
Докажите, что в равнобедренном треугольнике все четыре замеча тельные точки лежат на одной прямой. Какая это прямая?​

Answer 1

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Проведём медиану AM из вершины A к стороне BC. Так как треугольник равнобедренный, то медиана является одновременно биссектрисой и высотой, а значит, точка M является точкой пересечения биссектрис и высот, то есть вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Также рассмотрим точки K и L, которые являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точек B и C на прямую AM, соответственно. Так как треугольник равнобедренный, то AK является биссектрисой угла A, и, следовательно, углы ABK и ACK равны. Тогда из сходства прямоугольных треугольников ABK и ALC следует, что углы ALK и AKM также равны. А это означает, что четыре замечательные точки K, A, L и M лежат на одной прямой KM, которая называется линией Эйлера.

Таким образом, в равнобедренном треугольнике все четыре замечательные точки (основания перпендикуляров, опущенных из вершин треугольника на биссектрису угла) лежат на линии Эйлера.