З точки М, що лежить поза колом з центром у точці О, прове- проведені дотичні MP і MK (P i K - точки дотику). Відомо, що РМК = 60º. Знайди довжину радіуса кола, якщо ОМ = 10 см.
Ответы
Ответ:
Позначимо радіус кола як r. Оскільки OM є радіусом кола, то OP = r.
За теоремою про дотичні до кола, кут між дотичною і радіусом кола, що опускається до точки дотику, дорівнює 90 градусів.
Оскільки MP і MK є дотичними до кола, то OPMP і OKMK є прямокутними трикутниками. Звідси випливає, що MP і MK є висотами цих трикутників.
За теоремою про косинус кута, можемо записати:
cos(60°) = MK/OP = MK/r
Тоді MK = r*cos(60°) = 0.5r
Також за теоремою Піфагора, в прямокутному трикутнику OPMP:
PM^2 = OP^2 - MP^2
Звідси:
MP^2 = OP^2 - PM^2
Оскільки OP = r і PM = r/2 (бо OPMP є прямокутним трикутником, і МР є його висотою), то:
MP^2 = r^2 - (r/2)^2
MP^2 = 3/4*r^2
Отже, MK = MP = sqrt(3/4)*r
Таким чином, ми маємо дві рівності:
MK = 0.5r
MK = sqrt(3/4)*r
Підставляючи одне в інше, отримаємо:
0.5r = sqrt(3/4)*r
r = 2*sqrt(3)*OM = 20*sqrt(3) см
Отже, довжина радіуса кола дорівнює 20*sqrt(3) см.
Відповідь: r = 5 см .
Пояснення:
Внаслідок рівності прямок. ΔМРО = ΔМКО ( за гіпотенузою і
катетом ) , ОМ - бісектриса кута РМК .
Тому ∠ОМР = 1/2 ∠РМК = 1/2 * 60° = 30° . Із прямок. ΔОРМ за
власт. катета , що лежить проти кута 30°
ОР = r = 1/2 МО = 1/2 * 10 = 5 ( см ) ; r = 5 см .