y=x+2/x^2-9 дослідження функції та побудова її графіку
Ответы
Ответ:
Дослідження функції y=x+2/x^2-9:
1. Область визначення: x^2-9 ≠ 0, тобто x ≠ ±3.
2. Область значень: y може приймати будь-які дійсні значення, окрім y=0 (адже знаменник не може дорівнювати нулю).
3. Непарність функції: y(-x) = -x + 2/(-x^2-9) = -(x+2/x^2-9) = -y(x), тобто функція є непарною.
4. Парність функції: y(x) = x + 2/x^2-9 = y(-x), тобто функція є парною.
5. Асимптоти:
a) Горизонтальна асимптота: при x→±∞, y→0 (бо степінь чисельника менша за степінь знаменника).
b) Вертикальні асимптоти: x=±3 (бо знаменник дорівнює нулю).
6. Точки перетину з осями координат:
a) При x=0, y=2/-9.
b) При y=0, x=±√2.
7. Знак функції:
a) y>0 при x∈(-∞,-√3)∪(-√2,3)∪(3,+∞).
b) y<0 при x∈(-√3,-√2)∪(3,+∞).
c) y=0 при x=±√2.
Побудова графіку функції:
1. Знайдемо точки перетину з осями координат: (0,2/-9), (√2,0), (-√2,0).
2. Знайдемо асимптоти: горизонтальна - y=0, вертикальні - x=±3.
3. Знайдемо точки перегину: y'' = 2(9x^2-18)/(x^2-9)^3 = 0 при x=±√2.
4. Побудуємо таблицю знаків функції:
x | -∞ | -√3 | -√2 | 0 | √2 | √3 | 3 | +∞
y' | - | - | + | - | + | + | + | +
y'' | + | + | - | неі | - | + | + | +
y | ↓ | ↓ | ↑ | ↓ | ↑ | ↑ | ↑ | ↓
5. Побудуємо графік функції:
|
1.5| /
| /
| /
| /
| /
| /
|/
0.5|-----------------
| \
| \
| \
|
-3 -2 -1 0 1 2 3