Знайдіть найбільше значення функції f(x) = x⁴-4x²+2 на відрізку [-2;1] (без відповідей)?
Ответы
Для знаходження найбільшого значення функції на відрізку [-2;1] ми можемо використовувати метод диференційного числення.
Спочатку знайдемо критичні точки функції, тобто точки, де похідна дорівнює нулю або не існує:
f(x) = x⁴ - 4x² + 2
f'(x) = 4x³ - 8x
Розв'язуємо рівняння f'(x) = 0:
4x³ - 8x = 0
4x(x² - 2) = 0
x = 0 або x = ±√2
Таким чином, критичні точки функції знаходяться в точках x = 0, x = √2 та x = -√2.
Тепер застосуємо другу похідну, щоб визначити, які з цих точок є максимумами, а які мінімумами:
f''(x) = 12x² - 8
f''(0) = -8 < 0, тому точка x = 0 є максимумом.
f''(√2) = 16 > 0, тому точка x = √2 є мінімумом.
f''(-√2) = 16 > 0, тому точка x = -√2 є мінімумом.
Таким чином, найбільше значення функції на відрізку [-2;1] буде досягатися в точці x = 0, і дорівнюватиме:
f(0) = 0⁴ - 4·0² + 2 = 2
Таким чином, найбільше значення функції f(x) на відрізку [-2;1] дорівнює 2.