Question

Представьте дробь 1,(15) в виде неправильной обыкновенной дроби.

Запишите числитель и знаменатель полученной дроби.

Answer 1

Почнемо з позначення x = 1,(15):

x = 1 + 0,(15)

x = 1 + 15/100 + 5/1000 + 5/10000 + ...

x = 1 + 15/100 + 5/1000 + 5/10000 + ...

x = 1 + 15/(1010) + 5/(101010) + 5/(10101010) + ...

Тепер складемо n + 1 частину x:

10^n * x = 10^n + 1510^(n-2) + 510^(n-3) + ... + 5

Віднімаємо x від 10^n * x:

(10^n - 1) * x = 10^n - 1510^(n-2) - 510^(n-3) - ... - 5

x = (10^n - 1)^(-1) * (10^n - 1510^(n-2) - 510^(n-3) - ... - 5)

Залишається обчислити границю цієї дробу при n -> нескінченності.

Якщо n стає дуже великим, то 15 * 10^(n-2), 5 * 10^(n-3), 5 * 10^(n-4), ... стають дуже малими порівняно з 10^n. Тому для великих n ми можемо ігнорувати ці члени. Отримаємо:

x = lim(n->∞) ((10^n - 1)^(-1) * (10^n - 1510^(n-2) - 510^(n-3) - ... - 5))

x = lim(n->∞) ((10^n - 1)^(-1) * 10^n)

x = lim(n->∞) (1 - 10^(-n))^-1

x = 1.16...

Тепер запишемо дріб у вигляді чисельника та знаменника:

x = 1 + 16/100 + 6/1000 + ...

Тому чисельник - 116, а знаменник - 100. Отже,

1,(15) = 116/100