Найдите остаток от деления:
3^50 на 1998
Ответы
Для вычисления остатка от деления 3^50 на 1998 можно воспользоваться малой теоремой Ферма и алгоритмом быстрого возведения в степень.
Согласно малой теореме Ферма, если p - простое число, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p) для любого целого числа a, не делящегося на p. Если применить эту теорему к числу 1999, которое является простым числом (1999 простое, так как оно не делится ни на какое из чисел от 2 до 44), то получим:
3^1998 ≡ 1 (mod 1999)
Заметим также, что 1998 = 2 * 3^3 * 37. Поэтому можно разложить выражение 3^50 на множители по модулю 1998 с помощью алгоритма быстрого возведения в степень.
Для этого нужно последовательно вычислить значения 3, 3^2, 3^4, 3^8, 3^16, 3^32, 3^37, 3^50, перемножив те из них, которые соответствуют единицам в двоичной записи числа 50. Получаем:
3 ≡ 3 (mod 1998)
3^2 ≡ 9 (mod 1998)
3^4 ≡ 81 (mod 1998)
3^8 ≡ 6561 ≡ 661 (mod 1998)
3^16 ≡ 661^2 ≡ 1441 (mod 1998)
3^32 ≡ 1441^2 ≡ 1281 (mod 1998)
3^37 ≡ 128181 ≡ 470 (mod 1998)
3^50 ≡ 470^29*3 ≡ 92 (mod 1998)
Таким образом, остаток от деления 3^50 на 1998 равен 92.