Question

.............................................

Answer 1

Рассмотрим комплексное число:

$z=a+bi,\ b\neq 0$

Запишем его в тригонометрической форме. Пусть:

$a=\rho\cos\varphi;\ b=\rho\sin\varphi$

Тогда:

$z=\rho\cos\varphi+i\cdot \rho\sin\varphi=\rho(\cos\varphi+i \sin\varphi)$

По условию рассматриваемся 8-ая степени исходного комплексного числа. По формуле Муавра получим:

$z^8=\rho^8(\cos8\varphi+i \sin8\varphi)=\rho^8\cos8\varphi+i \cdot \rho^8\sin8\varphi$

По условию, эта 8-ая степень является положительным действительным числом. То есть:

$\begin{cases} \mathrm{Re}(z^8) > 0\\ \mathrm{Im}(z^8)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \rho^8\cos8\varphi > 0 \\ \rho^8\sin8\varphi=0\end{cases} \Rightarrow\begin{cases} \cos8\varphi > 0 \\ \sin8\varphi=0\end{cases}\Rightarrow$

$\Rightarrow \begin{cases} 8\varphi \in\left(-\dfrac{\pi }{2}+2\pi n;\ \dfrac{\pi }{2}+2\pi n\right) \\ 8\varphi=\pi n\end{cases}\Rightarrow$

$\Rightarrow 8\varphi=2\pi n\Rightarrow\boxed{ \varphi=\dfrac{\pi n}{4} ,\ n\in\mathbb{Z}}$

Учитывая, что по условию $b\neq 0$, а значит и $\rho\sin\varphi\neq 0$, то:

$\sin\varphi\neq 0$

$\varphi\neq \pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

Оставшиеся значения аргумента $\varphi$:

$\varphi_1=\dfrac{\pi }{4} +\pi n;\ \varphi_2=\dfrac{\pi }{2} +\pi n;\ \varphi_3=\dfrac{3\pi }{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Рассмотрим искомое отношение:

$\dfrac{a}{b} =\dfrac{\rho\cos\varphi}{\rho\sin\varphi} =\mathrm{ctg}{\,}\varphi$

Заметим, что оставшимся трем сериям аргументов соответствуют каждому по одному значению котангенса:

$\varphi_1=\dfrac{\pi }{4} +\pi n\to \mathrm{ctg}{\,}\varphi_1=1$

$\varphi_2=\dfrac{\pi }{2} +\pi n\to \mathrm{ctg}{\,}\varphi_2=0$

$\varphi_3=\dfrac{3\pi }{4} +\pi n\to \mathrm{ctg}{\,}\varphi_3=-1$

Таким образом, существует три различных значения отношения a/b.

Ответ: 3 значения