1. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свои ответ.
a + 8x + 20 ≥ 0;
c x ^ 2 + 3x + 2 \le ;
b y ^ 2 - 10x + 25 > ;
1) - 4x ^ 2 - 4 > 0
1) Неравенство не имеет решений. 2) Решением неравенства является вся числовая прямая.
3) Решением неравенства является одна точка.
4) Решением неравенства является закрытый промежуток.
5) Решением неравенства является открытый промежуток.
6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.
Ответы
a + 8x + 20 ≥ 0:
Для решения неравенства a + 8x + 20 ≥ 0 необходимо вычислить корни соответствующего уравнения a + 8x + 20 = 0.
a + 8x + 20 = 0
a = -8x - 20
Если рассмотреть полученное выражение в качестве функции f(x) = -8x - 20, то она представляет собой прямую, которая имеет наклон вниз. Так как необходимо найти значения переменной x, при которых f(x) ≥ 0, то следует определить точку, где прямая пересекает ось OX, т.е. когда f(x) = 0:
0 = -8x - 20
x = -2.5
Таким образом, получаем, что прямая пересекает ось OX в точке x = -2.5. При этом, так как прямая имеет наклон вниз, значения функции f(x) будут отрицательными при значениях x, меньших -2.5, и положительными при значениях x, больших -2.5. Следовательно, решением неравенства a + 8x + 20 ≥ 0 является открытый промежуток (-∞, -2.5] или [ -2.5, +∞).
Ответ: 5) Решением неравенства является открытый промежуток.
c x ^ 2 + 3x + 2 ≤ 0:
Для решения квадратного неравенства c x ^ 2 + 3x + 2 ≤ 0 необходимо вычислить корни соответствующего уравнения c x ^ 2 + 3x + 2 = 0 и определить знак функции в каждой из трех областей, на которые ось OX разбивает плоскость.
c x ^ 2 + 3x + 2 = 0
D = b ^ 2 - 4ac = 9 - 8c
Если D > 0, то уравнение имеет два корня x1 и x2, и функция меняет знак в точках x < x1, x1 < x < x2 и x > x2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень x1 и функция не меняет знака. Если D < 0, то уравнение не имеет корней и функция сохраняет знак на всей оси OX.
Таким образом, необходимо рассмотреть три случая в зависимости от значения параметра c:
1) Если c > 0, то квадратное уравнение имеет два корня x1 и x2, и функция меняет знак в точках x