Question

1. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. a) 2x² + 8x + 20 ≥ 0; b) -x² - 10x + 25 > 0; c)x2 + 3x + 2 ≤ 0; d) -4x² - 4 > 0. 1) Неравенство не имеет решений. 2) Решением неравенства является вся числовая прямая. 3) Решением неравенства является одна точка. 4) Решением неравенства является закрытый промежуток. 5) Решением неравенства является открытый промежуток. 6) Решением неравенства является объединение двух промежутков.​

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Информация:

1) Формула сокращённого умножения: (a + b)² = a² + 2·a·b + b²;

2) Следствие метода интервалов: Значение выражения

                              (x - a)·(x - b),

где a < b, положительно при всех значений x∈(-∞; a) ∪ (b; +∞) и отрицательно при всех значений x∈(a; b).

Решение.

a) 2·x² + 8·x + 20 ≥ 0   | :2>0

x² + 4·x + 10 ≥ 0

x² + 2·2·x + 4 + 6 ≥ 0

x² + 2·2·x + 2² + 6 ≥ 0

(x + 2)² + 6 ≥ 0,

Так как (x + 2)² ≥ 0 и поэтому (x + 2)² + 6 ≥ 6 > 0, то заданное неравенство верно для всех x ∈ R, то есть:

2) Решением неравенства является вся числовая прямая.

b) -x² - 10·x + 25 > 0  | ·(-1)<0

x² + 10·x - 25 < 0

x² + 2·5·x + 25 - 50 < 0

x² + 2·5·x + 5² - 50 < 0

(x + 5)² - 50 < 0

(x + 5)² - ($\sqrt{50}$)² < 0

(x + 5 - $\sqrt{50}$ )·(x + 5 + $\sqrt{50}$ ) < 0

(x - (-5 + $\sqrt{50}$ ))·(x - (-5 - $\sqrt{50}$ )) < 0 применим следствие метода интервалов:

x ∈(-5 - $\sqrt{50}$ ; -5 + $\sqrt{50}$ ), а значит

5) Решением неравенства является открытый промежуток.

c) x² + 3·x + 2 ≤ 0

x² + 2·x + x + 2 ≤ 0

x·(x + 2) + (x + 2) ≤ 0

(x + 2)·(x + 1) ≤ 0

(x - (-2))·(x - (-1)) ≤ 0 - применим следствие метода интервалов и заметим, что в неравенстве возможно равенство:

x∈[-2; -1], а значит

4) Решением неравенства является закрытый промежуток.

d) -4·x² - 4 > 0 | :(-4)<0

x² + 1 < 0

Так как x² ≥ 0 и поэтому x² + 1 ≥ 1 > 0, то заданное неравенство не выполняется ни для одного x ∈ R, то есть:

1) Неравенство не имеет решений.

#SPJ1