Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^3; y=2x; y=x

Answer 1

Ответ:

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной тремя линиями: y=x^3, y=2x и y=x.

Первым шагом нам нужно найти точки пересечения этих линий. Для этого приравняем каждую пару линий друг к другу:

y=x^3 и y=2x: x^3=2x -> x=0 или x=±√2

y=2x и y=x: x=0 или y=x

y=x^3 и y=x: x^3=x -> x=0 или x=±1

Таким образом, мы видим, что наша фигура ограничена следующим образом:

- Левая граница: y=x^3, с x=-1 до x=1

- Верхняя граница: y=2x, с x=0 до x=√2

- Правая граница: y=x, с x=√2 до x=1

Теперь мы можем найти площадь этой фигуры, используя интегралы:

S = ∫(от x=-1 до x=0) (x^3 - x) dx + ∫(от x=0 до x=√2) (2x - x) dx + ∫(от x=√2 до x=1) (x - x^3) dx

S = [x^4/4 - x^2/2] от x=-1 до x=0 + [3x^2/2] от x=0 до x=√2 + [x^2/2 - x^4/4] от x=√2 до x=1

S = (1/4) - (1/2) + (3/2) - (1/2) + (1/2) - (1/4)

S = 1

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^3, y=2x и y=x, равна 1 единице площади.