Грань ABCD прямокутного паралелепипеда ABCD ; A1B1C1D1 є квадратом, а ребро AA1 удвічі більше за ребро АВ. Знайдіть кут між прямими:
1) AB1 i CD
2) AB1 i CD1
3) AB1 i A1B1
Ответы
Ответ:
Объяснение:
1) Кут між прямими AB1 і CD дорівнює куту між їхніми напрямками, які є перпендикулярними до площин ABCD і A1B1C1D1 відповідно. Оскільки квадрат A1B1C1D1 лежить в площині, перпендикулярній до AB і CD, напрямки цих прямих також будуть перпендикулярними до цієї площини.
Отже, кут між прямими AB1 і CD дорівнює куту між векторами AB і CD, які лежать в площині ABCD і мають напрямки вздовж сторін прямокутника. Оскільки прямокутник ABCD є прямокутним, ці напрямки є перпендикулярними, тому кут між ними дорівнює 90 градусів.
2) Кут між прямими AB1 і CD1 дорівнює куту між їхніми напрямками, які є перпендикулярними до площин A1B1C1 і ABCD відповідно. Оскільки квадрат A1B1C1D1 є проекцією прямокутника ABCD на площину A1B1C1, вектори AB1 і CD1 мають напрямки, що лежать в цій площині. Таким чином, кут між прямими AB1 і CD1 дорівнює куту між векторами AB1 і CD1 в площині A1B1C1.
Оскільки сторона квадрата A1B1C1D1 дорівнює ребру прямокутника ABCD, а кут між сторонами квадрата дорівнює 90 градусів, вектори AB1 і CD1 мають однакову довжину і кут між ними дорівнює 90 градусів.
3) Кут між прямими AB1 і A1B1 дорівнює куту між їхніми напрямками, які є перпендикулярними до площин AB1D1 і A1B1C1 відповідно. Оскільки квадрат A1B1C1D1 є проекцією прямокутника ABCD на площину A1B1C1, а ребро AA1 удвічі більше за ребро АВ, то точка А лежить на більшому діагоналі квадрата, а точка В - на меншому діагоналі. Отже, вектор AB1 не паралельний вектору A1B1 і кут між ними не дорівнює 0 або 180 градусів.
Для знаходження кута між векторами AB1 і A1B1 скористаємося тригонометрією. Позначимо ребро паралелепіпеда через a, тоді ребро квадрата дорівнює a, а ребро вектора AA1 дорівнює 2a.
Застосуємо теорему Піфагора для знаходження довжини вектора AB1:
AB1^2 = AB^2 + B1B^2 = a^2 + (a/√2)^2 = 3a^2/2
Застосуємо теорему Піфагора для знаходження довжини вектора A1B1:
A1B1^2 = AB1^2 + A1A^2 = 3a^2/2 + (2a/√2)^2 = 7a^2
Таким чином, довжина вектора AB1 дорівнює √(3a^2/2), а довжина вектора A1B1 дорівнює √(7a^2).
Знаходимо дотичну до квадрата A1B1C1D1, проведену в точці B1. Вона співпадає зі стороною B1C1 і є перпендикулярною до A1B1. Отже, кут між прямими AB1 і A1B1 дорівнює куту між векторами AB1 і B1C1.
Вектор B1C1 лежить в площині квадрата A1B1C1D1 і має напрямок, що лежить в цій площині. Оскіль