Question

Решите 3 задания ПОЖАЛУЙСТА
1. Катет прямокутного трикутника відноситься до гіпотенузи як 3:5. Знайдіть (з точністю до градусів) гострі кути трикутника.
2. Гіпотенуза прямокутного трикутника відноситься до катета як 5:2. Знайдіть (з точністю до градусів) гострі кути трикутника.
3. Один з катетів прямокутного трикутника втричі більший за інший. Знайдіть (з точністю до градусів) гострі кути трикутника.

Answer 1

Ответ:

Позначимо катети як 3x і 5x, а гіпотенузу як 5y (де x і y - деякі константи). За теоремою Піфагора:

(3x)² + (5x)² = (5y)²

9x² + 25x² = 25y²

34x² = 25y²

x²/y² = 25/34

Так як сума квадратів кутів трикутника дорівнює 1 (180 градусів), то:

(3x/y)² + (5x/y)² = 1

9x²/y² + 25x²/y² = 1

34x²/y² = 1

x²/y² = 1/34

Тоді:

3x/y = √(3/34)

5x/y = √(5/34)

Отже, за тригонометричними відношеннями:

cos α = 3x/5y = 3√(3/34)/5

cos β = 5x/5y = √(5/34)

Тоді гострі кути трикутника будуть:

α ≈ 44.12°

β ≈ 45.88°

Позначимо катети як 2x і 5x, а гіпотенузу як 5y. Тоді за теоремою Піфагора:

(2x)² + (5x)² = (5y)²

4x² + 25x² = 25y²

29x² = 25y²

x²/y² = 25/29

Знову, сума квадратів кутів трикутника дорівнює 1 (180 градусів):

(2x/y)² + (5x/y)² = 1

4x²/y² + 25x²/y² = 1

29x²/y² = 1

x²/y² = 1/29

За тригонометричними відношеннями:

cos α = 2x/5y = 2√(29)/5

cos β = 5x/5y = 1

Тоді гострі кути трикутника будуть:

α ≈ 23.20°

β ≈ 90°

3.Припустимо, що менший катет має довжину x, тоді більший катет має довжину 3x.

За теоремою Піфагора відношення гіпотенузи до меншого катета можна виразити наступним чином:

(3x)2=x2+h2,(3x)2=x2+h2,

де h - довжина гіпотенузи.

Розв'язавши це рівняння, отримаємо:

h=2x2.h=2x2

​.

Тоді синус гострого кута, прилеглого до меншого катета, можна обчислити так:

sin⁡α=xh=x2x2=122.sinα=hx​=2x2

​x​=22

​1​.

Арксинус цього значення дорівнює близько 20,5 градусів.

Отже, гострий кут, прилеглий до меншого катета, має приблизно 20,5 градусів, а гострий кут, прилеглий до більшого катета, має 90 - 20,5 = 69,5 градусів.

Объяснение: