Question

СРОЧНО!!!!
Доведіть рівність прямокутних трикутників за катетом та бісектрисою,
проведеною з вершини прилеглого до цього катета кута.

Answer 1

Нехай у прямокутних трикутниках ABC та ADE прямі кути лежать в точках B та D відповідно, а катети AC та AE мають спільну точку A. Нехай BK і DM є бісектрисами кутів ABD та ADE відповідно, тоді треба довести, що трикутники ABC та ADE підобов'язкові.

За властивостю бісектрис кута в трикутнику можна записати:

$\frac{BD}{AB} = \frac{BK}{AK}$ та $\frac{DE}{AE} = \frac{DM}{AM}$

Оскільки трикутники ABC та ADE є прямокутними, то з теореми Піфагора можна записати:

$BD^2 = AB^2 - AD^2$ та $DE^2 = AE^2 - AD^2$

Підставляючи ці співвідношення в перші два, отримаємо:

$\frac{BD}{AB} = \sqrt{1 - \frac{AD^2}{AB^2}}$ та $\frac{DE}{AE} = \sqrt{1 - \frac{AD^2}{AE^2}}$

Розкриваючи квадратний корінь, отримаємо:

$\frac{BD}{AB} = \sqrt{\frac{AB^2 - AD^2}{AB^2}} = \sqrt{\frac{BD \cdot BC}{AB^2}}$ та $\frac{DE}{AE} = \sqrt{\frac{AE^2 - AD^2}{AE^2}} = \sqrt{\frac{DE \cdot AD}{AE^2}}$

Звідси:

$\frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AC}$ та $\frac{DE}{AD} = \frac{AE}{AC}$

Звідси випливає, що трикутники ABC та ADE підобов'язкові, оскільки вони мають спільний кут при вершині A та рівні відношення сторін.