Question

Середня лінія трапеції поділяється діагоналлю на два відрізки, різниця між якими дорівнює 2 см. Менша основа трапеції дорівнює 8 см. Знайдіть більшу основу трапеції.

Answer 1

Позначимо меншу основу трапеції як b1, а більшу - як b2.

За властивостями трапеції, середня лінія трапеції є серединним перпендикуляром до діагоналі. Тому, якщо позначити діагональ як d, то ми можемо записати, що:

b2 - b1 = 2 (за умовою)

медіана = d/2

Для того, щоб знайти b2, нам потрібно знайти значення d. Ми можемо знайти його за допомогою теореми Піфагора, застосованої до прямокутного трикутника, утвореного діагоналлю, медіаною і половиною більшої основи:

d² = (2b2)² - b1²

d² = 4b2² - b1²

d = sqrt(4b2² - b1²)

Також, з властивостей медіани, ми можемо записати:

d/2 = sqrt((b1² + b2²)/2)

Тепер ми можемо об'єднати дві отримані формули і знайти b2:

sqrt(4b2² - b1²) = 2sqrt((b1² + b2²)/2)

4b2² - b1² = 4(b1² + b2²)/2

4b2² - b1² = 2b1² + 2b2²

2b2² = 3b1² + 4b2²

2b2² - 4b2² = 3b1²

-2b2² = 3b1²

b2² = (3/2)b1²

b2 = sqrt((3/2)b1²) = b1 * sqrt(3/2)

Таким чином, більша основа трапеції дорівнює:

b2 = 8 * sqrt(3/2) ≈ 9.237 cm.