Question

знайти точки мінімуму і максимуму функції f(x)=16x-x³

Answer 1

Ответ:

Щоб знайти точки мінімуму і максимуму функції f(x)=16x-x³, потрібно знайти її похідну та розв'язати рівняння f'(x)=0:

1. Знаходимо похідну: f'(x) = 16-3x²

2. Розв'язуємо рівняння f'(x) = 0: 16-3x²=0

3. Переносимо усі доданки в ліву частину: -3x²+16=0

4. Ділимо обидві частини на -3: x²-16/3=0

5. Витягуємо корінь з обох частин: x=±√(16/3)

Отже, функція має дві критичні точки: x1=-√(16/3) та x2=√(16/3). Щоб з'ясувати, яка з них є точкою максимуму, а яка - мінімуму, можна скористатися другою похідною:

1. Знаходимо другу похідну: f''(x) = -6x

2. Перевіряємо знак другої похідної в критичних точках: f''(-√(16/3)) = 6√(16/3) > 0; f''(√(16/3)) = -6√(16/3) < 0

Оскільки друга похідна додатня в точці x1=-√(16/3), то це точка мінімуму. А друга похідна від'ємна в точці x2=√(16/3), то це точка максимуму.

Отже, функція f(x)=16x-x³ має точку максимуму в точці x=√(16/3) та точку мінімуму в точці x=-√(16/3).