Question

Дослідити на монотонність та екстремуми
y=3-4x³-3x⁴

Answer 1

Ответ:

Почнемо зі знаходження похідних функції і другої похідної:

y'=-12x²-12x³

y''=-24x-36x²

Для дослідження на монотонність існування екстремумів перевіримо знаки похідних у точках, де вони дорівнюють нулю.

y'=0 => -12x²-12x³=0 => -12x²(1+x)=0 => x=0 або x=-1.

y''(0)=-24*0-36*0²=0

y''(-1)=-24*(-1)-36*(-1)²=-12

Таким чином, у точці x=0 функція має рівноважну точку, а у точці x=-1 існує максимум.

Побудуємо таблицю знаків похідних:

x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞

--|----|----|---|---|----

y' | - | + | - | - | -

y''| + | - | 0 | - | -

З цієї таблиці видно, що функція спочатку зростає до точки x=-1, потім спадає до точки x=0, де має рівноважну точку, і далі продовжує спадати аж до нескінченності. Таким чином, функція є спадною на всій своїй області визначення.

Отже, глобальний максимум функції розташований у точці x=-1, його значення дорівнює y(-1)=3-4*(-1)³-3*(-1)⁴=2.