2.
Похила утворює з площиною кут 30°. Знайдіть довжину похилої, якщо її проекція на площину дорівнює 43 см.
3 .
Двогранний кут дорівнює 45°. На одній із граней дано точку, що знаходиться на відстані 62 см від іншої гра- ні. Знайдіть відстань від цієї точки до ребра двогранно го кута.
4 .
Один із кінців даного відрізка лежить у площині 3, а його середина знаходиться на відстані 4 см від площи- ни. На якій відстані від площини знаходиться інший кінець відрізка,
5.
Пряма ВК перпендикулярна до прямих ВА і ВС, що міс- тять сторони ромба ABCD. Знайдіть кут між прямими BKi AD.
6.
Точка віддалена від кожної з прямих, що містять сторо ни квадрата, на 10 см. Знайдіть відстань від точки до площини квадрата, якщо його площа дорівнює 144 см2
7. Два рівнобедрені трикутники мають спільну осно- ву завдовжки 4 см. Кут між площинами трикутників дорівнює 60°, а їхні площі дорівнюють 6 см2 і 10 см². Знайдіть відстань між вершинами трикутників.
Ответы
Ответ:
Нехай l - довжина похилої, а h - висота на неї. Тоді за визначенням синуса кута між похилою і площиною:
h/l = sin(30°)
із задачі відомо, що проекція похилої на площину дорівнює 43 см, тобто друга катет прямокутного трикутника з кутом 30° дорівнює 43 см. Застосуємо теорему Піфагора для знаходження довжини першого катета:
l² = h² + (2/3 * l)²
l² = h² + 4/9 * l²
5/9 * l² = h²
h/l = sin(30°)
h = l/2
5/9 * l² = (l/2)²
5/9 * l² = 1/4 * l²
l = 86 см (приблизно).
Отже, довжина похилої дорівнює близько 86 см.
3.Оскільки двогранный кут має кут 45°, то він є прямокутним. Зобразивши це на площині, можна помітити, що точка, яка знаходиться на відстані 62 см від однієї з граней, лежить на бічній ребристій кромці. Тому відстань від точки до ребра дорівнює 62 см.
4.Нехай A і B - кінці відрізка, M - його середина. Можна помітити, що вектор AM перпендикулярний площині, а відрізок AM утворює з площиною прямий кут. Тому відрізок AM - це висота трикутника ABM, який утворений площиною і векторами AM і BM. Його площа може бути обчислена як S = (1/2) * AB * AM. З іншого боку, відрізок BM ділить AB на дві рівні частини, тому AM = √(AB²/4 - 4²). Підставляючи це значення в формулу для S, отримуємо:
S = (1/2) * AB * √(AB²/4 - 4²)
Друга відповідь може бути знайдена за допомогою геометричного розуміння того, що відрізок BM є медіаною трикутника ABM і ділить його на два рівних трикутники. Отже, відстань від точки B до площини, яка містить відрізок AB, дорівнює половині висоти трикутника ABM:
h = (1/2) * √(AB²/4 - 4²)
5.Помітимо, що пряма ВК є висотою ромба ABCD на його діагоналі BD. Оскільки радіуси кола, описаного навколо ромба або вписаного у нього, є напівдіагоналя