У трикутник АВС вписано коло, яке дотикається до його сторін у точках D, E і F. Знайди суму довжин відрізків BD, AF і EC (точки D знаходиться на стороні АВ, точка Е на ВС, а точка F на АС), якщо периметр трикутника АВС дорівнює 16 см.
Допоможіть
Ответы
Задача вимагає застосування властивостей вписаного кола в трикутнику.
Загальна властивість вписаного кола в трикутнику стверджує, що точки дотику кола до сторін трикутника лежать на бісектрисах кутів, утворених цими сторонами. Це означає, що відрізки BD, AF і EC є бісектрисами кутів трикутника АВС.
Оскільки точки D, E і F є точками дотику кола до сторін трикутника, то вони розташовані на рівні відстані від відповідних вершин трикутника АВС. З цього можна зробити висновок, що трикутник АВД, трикутник АФС і трикутник ВЕС є піврівні трикутники.
Оскільки периметр трикутника АВС дорівнює 16 см, то кожна з його сторін має довжину 16/3 см (оскільки трикутник піврівний, то відрізок, що його ділить, також розподіляється порівну).
Таким чином, довжини відрізків BD, AF і EC також дорівнюють 16/3 см кожен.
Сума довжин відрізків BD, AF і EC буде:
BD + AF + EC = (16/3) + (16/3) + (16/3) = 48/3 = 16 см.
Отже, сума довжин відрізків BD, AF і EC дорівнює 16 см.