Question

У трикутник АВС вписано коло, яке дотикається до його сторін у точках D, E і F. Знайди суму довжин відрізків BD, AF і EC (точки D знаходиться на стороні АВ, точка Е на ВС, а точка F на АС), якщо периметр трикутника АВС дорівнює 16 см.

Answer 1

Ответ:Позначимо довжини сторін трикутника a, b і c, а s — його півпериметр, тобто s = (a + b + c)/2. Тоді периметр визначається як P = a + b + c = 2s, отже, маємо s = 8 см.

Нехай r — радіус вписаного кола. Тоді площа трикутника визначається як A = rs, де A - площа трикутника. Нехай BD = x, AF = y і EC = z. Тоді маємо:

x + y + z = a + b + c = 2s = 16 см

Крім того, за властивостями дотичних до кола маємо:

BD = s - a

AF = s - c

EC = s - b

Отже, маємо:

x + y + z = (s - a) + (s - c) + (s - b) = 3s - (a + b + c) = 3s - 2s = s = 8 см

Тепер ми використовуємо формулу для площі трикутника через його півпериметр і радіус вписаного в нього кола:

A = rs = (x + y + z)(r/2)

Підставляючи x + y + z і спрощуючи, отримуємо:

A = 4r(x + y + z)

Крім того, площу трикутника можна виразити через його сторони за допомогою формули Герона:

A = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

Підставляючи s і спрощуючи, отримуємо:

A = sqrt(8(8-a)(8-b)(8-c))

Прирівнявши два вирази для A та спростивши, ми отримаємо:

r(x + y + z) = sqrt(2(8-a)(8-b)(8-c))

Зводячи обидві сторони в квадрат і спрощуючи, отримуємо:

r^2(x + y + z)^2 = 2(8-a)(8-b)(8-c)

Підставляючи x + y + z і спрощуючи, отримуємо:

r^2(64 - 2s(a+b+c) + (a+b+c)^2) = 2(8-a)(8-b)(8-c)

Підставляючи s і спрощуючи, отримуємо:

r^2(64 - 32s + 4s^2) = 2(8-a)(8-b)(8-c)

Підставляючи s і спрощуючи, отримуємо:

r^2(64 - 256 + 64r^2) = 2(8-a)(8-b)(8-c)

Спрощуючи, отримуємо:

32r^4 - 4ar^2 - 4br^2 - 4cr^2 + abc - 512 = 0

Ми знаємо, що довжини сторін трикутника додатні, тому r^2 > 0. Тому ми можемо розділити обидві сторони рівняння на r^2 і спростити:

32r^2 - 4a - 4b - 4c + abc/r^2 - 512/r^2 = 0

Використовуючи той факт, що BD = s - a, AF = s - c і EC = s - b, ми можемо виразити суму довжин цих відрізків у вигляді:

x + y + z = s - a + s - c + s - b = 3s - (a + b + c) = 3s - 2s = s = 8 см

Отже, сума довжин BD, AF і EC дорівнює 8 см