Question

0,7+0,77+0,777+...+0,777....7=

Answer 1

 Если вам нужна что то вроде рекуррентной суммы , то есть выразить любую сумму последовательности. 
$0.7+0.77+0.777+0.7777+0.77777...,+0.,77,.\\ 7(frac{1}{10}+frac{11}{100}+frac{111}{1000}+..,frac{11111,..}{10000,..})=\\ frac{1}{10}+frac{11}{100}+frac{111}{1000}+frac{1111}{10000}+...,.=$ 
теперь обозначим каждый его член последовательно 
$b_{1}=frac{1}{10}\ b_{2}=frac{11}{100}\ b_{3}=frac{111}{1000}\ b_{4}=frac{111}{10000}\ ...$
заметим что каждый член можно представить в виде 
$b_{1}=frac{1}{10}\ b_{2}=frac{11}{100}=frac{1}{10}+frac{1}{100}\ b_{3}=frac{111}{1000}=frac{1}{10}+frac{11}{100}+frac{1}{1000}\ ...$  и так же заметим что крайние суммы есть геометрическая прогрессия . То есть найдем частичную сумму    , возьмем 4  член и про суммируем по формуле геометрической прогрессий $S_{n}=frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q}$
$S_{4}=frac{1-frac{1}{10^n}}{9}+frac{1-frac{1}{10^{n-1}}}{9}+frac{1-frac{1}{10^{n-2}}}{9}+frac{1-frac{1}{10^{n-3}}}{9}+frac{3}{9}+frac{1}{10}$ теперь очевидно что любая сумма будет иметь  вид    
 $Sn=frac{1}{10}+frac{n-1}{9}-frac{frac{frac{1}{10}^2*(1-frac{1}{10}^{n-1})}{frac{9}{10}}}{9}=\ frac{1}{10}+frac{n-1}{9}-frac{10^{2-2n}*(10^n-10)}{81}$ 
теперь осталось домножить на 7 то есть  
$frac{7}{10}+frac{7n-7}{9}-frac{7*10^{2-2n}*(10^n-10)}{81}$