Question

В круге проведена хорда MN, параллельная диаметру АВ.
Круговой сегмент, который ограничен хордой МN и не имеет общих
точек с диаметром АВ, вращается вокруг прямой АВ. Найдите
объем образовавшегося при этом тела, если МN = 1 см.
Необходимо решение. Правильный ответ: π /6 см3

Answer 1

Ответ:

Найдем угол α, соответствующий данному сегменту круга. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в прямоугольном треугольнике AMN:

MN² = AM² + AN² = r² - (AB/2)²

cos(α/2) = AM / r = √(1 - (AB/2r)²)

sin(α/2) = MN / (2r) = 1 / (2r√(1 - (AB/2r)²))

Тогда объем тела, образованного вращением данного сегмента вокруг прямой AB, можно найти по формуле:

V = ∫[0,α] A(θ)²πh dθ

где A(θ) - площадь сечения вращения под углом θ, h = 1 см - высота сегмента круга.

Так как сегмент круга не имеет общих точек с диаметром AB, то A(θ) = (r²/2)(θ - sinθ).

Подставляя выражения для A(θ) и sin(θ/2) в формулу для объема и вычисляя интеграл, получим:

V = πh(r²/2)² ∫[0,α] (θ - sinθ)² dθ

= π/6 h(r²/2)² (3α - sin3α)

Так как cos(α/2) = √(1 - (AB/2r)²), то sin(α/2) = √(1 - cos²(α/2)) = √(AB/2r)² = AB/2r. Поэтому:

MN/AB = 1/(2cos(α/2)) = 1/(2√(1 - (AB/2r)²))

AB/2r = √(1 - (MN/AB)²) = √(1 - 1/4) = √3/2

Отсюда r = AB/(2√3) и α = 2arccos(AB/2r) = 2arccos(√3/3).

Подставляя значения h, r и α в формулу для V, получим:

V = π/6 см³

Ответ: объем образовавшегося тела равен π/6 см³.

Пошаговое объяснение: