1. знайти в градусах кут Ф між векторами c (-7;15;8) і d(16;1;-9)
2.Яка площа S трикутника з вершинами A(-1;-1;4),B(1;2;0),С(-5;-3;8)
3.Обчислити обэм V піраміди з вершинами в точках :
A (4;5;6) B ( 3;2;4) C (4;4;2) D (-2;-7;12)
4.Дано : |A| =15, |b|=16, |a+b|=29, Oбчислити |a-b|
Ответы
Ответ:
1. Використовуючи формулу cos(φ) = (c,d) / (|c|* |d|), де (c,d) - скалярний добуток векторів c і d, |c| і |d| - їхні довжини, отримуємо:
cos(φ) = (-7*16 + 15*1 + 8*(-9)) / (sqrt((-7)^2 + 15^2 + 8^2) * sqrt(16^2 + 1^2 + (-9)^2)) ≈ -0.822
φ ≈ arccos(-0.822) ≈ 145.35°
Отже, кут між векторами c і d становить близько 145.35 градусів.
2. Площа S трикутника може бути обчислена за допомогою формули Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), де a, b і c - довжини сторін трикутника, а p = (a+b+c) / 2 - напівпериметр.
Знайдемо довжини сторін трикутника:
AB = √((1-(-1))^2 + (2-(-1))^2 + (0-4)^2) ≈ 3.74
BC = √((-5-1)^2 + (-3-2)^2 + (8-0)^2) ≈ 11.22
CA = √((-5-(-1))^2 + (-3-(-1))^2 + (8-4)^2) ≈ 7.81
Знаходимо напівпериметр: p = (3.74 + 11.22 + 7.81) / 2 ≈ 11.39
Обчислюємо площу трикутника: S = √(11.39*(11.39-3.74)*(11.39-11.22)*(11.39-7.81)) ≈ 19.43
Отже, площа трикутника складає близько 19.43 квадратних одиниць.
3. Об'єм піраміди можна обчислити, використовуючи формулу V = (1/3) * S * h, де S - площа основи піраміди, а h - її висота.
Спочатку знайдемо площу основи піраміди. Оскільки у піраміди ABCD основа - прямокутник ABCD, то її площа дорівнює площі прямокутника ABDC: S осн = |AB| * |AD| = √(2^2 + 3^2 + (-4)^2) * √(6^2 + (-3)^2 + 2^2) ≈ 72.07
Щоб знайти висоту піраміди, можна, наприклад, скористатися рівнянням площі трикутника:
S біч = (1/2) * |AB| * |AC| * sin(φ), де φ - кут між векторами AB і AC.
Знайдемо кут між векторами AB і AC:
cos(φ) = (AB,AC) / (|AB| * |AC|) = ((3-(-1)) * (2-5) + (0-4) * (3-(-1)) + ((-5)-1) * ((-3)-(-7))) / (3.74 * 9.11) ≈ -0.422
φ ≈ arccos(-0.422) ≈ 115.57°
Тоді sin(φ) = √(1 - cos^2(φ)) ≈ 0.907
Тепер можемо обчислити висоту піраміди: h = S біч / (1/2 * |AB|) ≈ 9.98
Остаточно, об'єм піраміди дорівнює V = (1/3) * S осн * h ≈ 240.22
Отже, об'єм піраміди становить близько 240.22 кубічних одиниць.
4. Використовуючи теорему косинусів, можна отримати наступну рівність:
|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cos(φ), де φ - кут між векторами a і b.
Відомо, що |a| = 15, |b| = 16 і |a+b| = 29. Тоді можна записати рівності:
|a+b|^2 = |a|^2 + 2|a||b|cos(φ) + |b|^2
29^2 = 15^2 + 2*15*16*cos(φ) + 16^2
Вирішуючи це рівняння відносно cos(φ), отримуємо:
cos(φ) = (29^2 - 15^2 - 16^2) / (2*15*16) ≈ 0.392
Тепер знову застосовуємо теорему косинусів:
|a-b|^2 = 15^2 + 16^2 - 2*15*16*cos(φ) ≈ 842.72
Отже, |a-b| ≈ √842.72 ≈ 29.02.