Question

No5. Найти объем тела, если у=х3-2, х=0, х=3,у=0 вокруг оси ОХ

Answer 1

Для нахождения объема тела, получаемого вращением кривой y = x^3 - 2 вокруг оси ОХ, мы можем использовать формулу цилиндрических оболочек.

Объем тела, получаемого вращением кривой y = f(x) вокруг оси ОХ на отрезке [a, b], равен:

V = π∫[a,b] f(x)^2 dx

В данном случае, мы имеем кривую y = x^3 - 2, которая пересекает ось ОХ в точках x = 0 и x = 3. Значит, мы будем интегрировать по отрезку [0, 3].

Таким образом, объем тела равен:

V = π∫[0,3] (x^3 - 2)^2 dx

Для упрощения вычислений мы можем возвести квадрат в скобках:

V = π∫[0,3] (x^6 - 4x^3 + 4) dx

Теперь мы можем интегрировать каждый член выражения по отрезку [0, 3]:

V = π(1/7 x^7 - 2 x^4 + 4x)∣[0,3]

V = π(1/7 (3)^7 - 2 (3)^4 + 4(3)) - π(1/7 (0)^7 - 2 (0)^4 + 4(0))

V = π(2187/7 - 54 + 12)

V = (2187/7 - 54 + 12)π

V = (2187/7 - 42)π

Итак, объем тела, получаемого вращением кривой y = x^3 - 2 вокруг оси ОХ на отрезке [0, 3], равен (2187/7 - 42)π.