В основі піраміди лежить рівнобедрений трикут- ник з кутом а при вершині. Усі бічні ребра піра міди нахилені до площини основи під кутом В. Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус описаної нав- коло неї кулі дорівнює R
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
Для розв'язання задачі нам знадобиться формула для об'єму піраміди:
V = (1/3) * S_base * h
де S_base - площа основи, h - висота піраміди.
Розглянемо трикутник, що утворює половину основи піраміди. Оскільки це рівнобедрений трикутник, то його висота, проведена з вершини а на протилежну сторону, є бісектрисою кута а. Отже, ми можемо розбити трикутник на два прямокутних трикутники і побудувати на них трикутники, які є подібними до початкового трикутника.
Позначимо сторону основи піраміди через a, висоту піраміди - через h, а сторону трикутника, який є подібний до початкового, через b. Тоді за теоремою Піфагора ми можемо записати:
(b/2)^2 + h^2 = a^2 (1)
b^2 + (2h)^2 = (2a)^2 (2)
Розв'язуючи систему рівнянь (1) і (2), знаходимо:
h^2 = a^2 - (b/2)^2
4h^2 = 4a^2 - b^2
b^2 = 4a^2 - 4h^2
З іншого боку, радіус описаної навколо піраміди кулі дорівнює R, тому за теоремою Піфагора для трикутника, утвореного однією стороною основи піраміди, напівдіагоналлю основи і радіусом описаної навколо піраміди кулі, маємо:
(R^2 - h^2) + (a^2 - (b/2)^2) = (2a)^2
Підставляємо вираз для b^2 з попереднього рівняння і спрощуємо:
R^2 = (a^2 + h^2) - b^2/4 = 5a^2 - 5h^2/4
Знаючи сторону основи піраміди a, можемо знайти висоту піраміди h і сторону b. Підставляємо значення в формулу для об'єму