1. Знайдіть найбільше і найменше значення g(x) = (x ^ 2 - 8x)/(x + 1) на проміжку [0; 4] функції
Ответы
Відповідь:
Для знаходження найбільшого та найменшого значень функції g(x) на проміжку [0, 4], спочатку треба знайти точки, де функція може досягати екстремумів. Ці точки можуть бути або в середині проміжку, або на його межах.
1. Знайдемо точки, в яких функція може досягати екстремуму в середині проміжку:
g'(x) = [(2x - 8)(x + 1) - (x ^ 2 - 8x)] / (x + 1) ^ 2 = -6(x - 2) / (x + 1) ^ 2
Екстремум можливий, коли g'(x) = 0, тобто коли x = 2. Оскільки x = 2 належить до проміжку [0, 4], то ця точка може бути максимумом або мінімумом функції.
2. Знайдемо значення функції на межах проміжку [0, 4]:
g(0) = (0 ^ 2 - 8 * 0) / (0 + 1) = 0
g(4) = (4 ^ 2 - 8 * 4) / (4 + 1) = -8 / 5
3. Зробимо висновки:
Значення функції на межах проміжку: g(0) = 0, g(4) = -8/5.
Точка x = 2 може бути максимумом або мінімумом функції. Для з'ясування цього перевіримо знак похідної g'(x) на інтервалах [0, 2) та (2, 4].
- Для x на проміжку [0, 2) маємо g'(x) < 0, тобто функція g(x) спадає.
- Для x на проміжку (2, 4] маємо g'(x) > 0, тобто функція g(x) зростає.
Отже, функція g(x) має мінімум у точці x = 2. Тоді найбільше значення функції g(x) на проміжку [0, 4] дорівнює g(0) = 0, а найменше значення дорівнює g(2) = -4.
Зроби як найкращу відповідь будь-ласка.
Покрокове пояснення: