СРОЧНО, ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА! Предмет: Высшая математика
1. Довести що вектори a, b, c, утворюють базис та знайти координати вектора d у цьому базисі.
a=(5, 4, 1); b=(-3, 5, 2); c=(2, -1, 3); d=(7, 23, 4).
2. Дано вектори a, b, і c. (a= 2i-3j+k); (b=j+4k); (c=5i+2j-3k).
Необхідно:
1) обчислити мішаний добуток трьох векторів (a, 3b, c)
2) знайти модуль векторного добутку (3a, 2c)
3) обчислити скалярний добуток двох векторів (b, -4c)
4) перевірити чи будуть колінеарними або ортогональними два вектори (a, c)
5) перевірити чи будуть компланарними три вектори (a, 2b, 3c)
Ответы
Ответ:
1. Спочатку перевіримо, чи є вектори a, b, c лінійно незалежними. Для цього побудуємо матрицю:
$
\begin{pmatrix}
5 & -3 & 2 \\
4 & 5 & -1 \\
1 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix}
$
І проведемо її елементарні перетворення, доки не отримаємо ступеневидну форму:
$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 13 & 17 \\
0 & 0 & -\frac{383}{13} \\
\end{pmatrix}
$
Оскільки останній елемент на діагоналі не дорівнює нулю, ми можемо стверджувати, що вектори лінійно незалежні.
Таким чином, вектори a, b, c утворюють базис. Щоб знайти координати вектора d у цьому базисі, спочатку знайдемо координати вектора d у стандартному базисі. Для цього ми записуємо вектор d як лінійну комбінацію векторів i, j, k:
d = 7i + 23j + 4k
Тепер знаходимо коефіцієнти цієї лінійної комбінації, розв'язуючи систему:
$
\begin{cases}
7 = 5x_1 - 3x_2 + 2x_3 \\
23 = 4x_1 + 5x_2 - x_3 \\
4 = x_1 - x_2 + 3x_3 \\
\end{cases}
$
Розв'язавши цю систему, ми отримаємо координати вектора d у стандартному базисі:
$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
1 \\
\end{pmatrix}
$
Тепер ми можемо записати вектор d у вигляді лінійної комбінації векторів a, b, c зі знайденими коефіцієнтами:
d = 3a + 4b + c
Таким чином, координати вектора d у базисі {a, b, c} дорівнюють {3, 4, 1}.
2. Обчислимо мішаний добуток за формулою:
(a, 3b, c) = det
$
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1 \\
0 & 12 & 0 \\
5 & 2 & -3 \\
\end{pmatrix}
=
-36
$
Отже, (a, 3b, c) = -36.
Знайдемо модуль векторного добутку (3a, 2c) за формулою:
|(3a, 2c)| = |3a| |2c| sin α,
де α - кут між векторами 3a та 2c.
|3a| = 3|a| = 3√14,
|2c| = 2|c| = 2√38,
sin α можна знайти з векторного та скалярного добутків:
(3a) × (2c) = - (2c) × (3a),
(3a)·(2c) = |3a| |2c| cos α,
(sin α)^2 = 1 - cos^2 α,
sin α = ±√(1 - cos^2 α).
Отримаємо:
(3a) × (2c) = det
$
\begin{pmatrix}
i & j & k \\
6 & 0 & 0 \\
0 & 30 & 12 \\
\end{pmatrix}
=
-72i - 36j.
(3a)·(2c) = 6·5 - 3·(-3) + 1·(-2) = 35.
cos α = (3a)·(2c) / (|3a| |2c|),
sin α = ±√(1 - cos^2 α) = ±√(1 - (35/(3√14·2√38))^2) ≈ ±0.834.
Отже, |(3a, 2c)| = |3a| |2c| sin α ≈ 333.47.
Обчислимо скалярний добуток (b, -4c) за формулою:
(b, -4c) = -4(b, c) = -4(0 - 2 + 12) = 40.
Перевіримо, чи є вектори a і c колінеарними або ортогональними. Для цього перевіримо, чи рівняється їхній скалярний добуток нулю або модулі їхнього векторного добутку.
(a, c) = 5·2 - 3·(-1) + 1·3 = 17 ≠ 0,
|(a, c)| = |(5, 4, 1) × (2, -1, 3)| = √(46^2 + 13^2 + 22^2) ≈ 50.5.
Отже, вектори a і c не є колінеарними або ортогональними.
Перевіримо, чи є вектори a, 2b, і 3c компланарними. Для цього перевіримо, чи рівняється їхній скалярний триплетний добуток нулю.
(a, 2b, 3c) = det
$
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 1 \\
0 & 8 & 12 \\
5 & 2 & -3 \\
\end{pmatrix}
=
-154
$
Отже, вектори a, 2b, і 3c не є компланарними.