Question

Можно пожалуйста решить этих заданиии!!хоть одну,пж

Answer 1

Ответ .

Дифференциальные уравнения .

$\bf 1)\ \ y'=1+y^2$   - дифф. уравнение 1 порядка с разделяющимися переменными .

$\bf \displaystyle \dfrac{dy}{dx}=1+y^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \int \frac{dy}{1+y^2}=\int dx\ \ \ ,\\\\\\arctg\, y=x+C\ \ ,\ \ \ \underline{y=tg(x+C)}$      

$\bf \displaystyle 2)\ \ y''=cos2x$  - дифф. ур. 2 порядка, допускающее понижение порядка .

$\bf \displaystyle y'=\int cos2x\, dx\ \ ,\ \ y'=\frac{1}{2}\, sin2x+C_1\ \ ,\\\\y'=\int \Big(\frac{1}{2}\, sin2x+C_1\Big)\, dx\ \ ,\ \ \underline{y=-\frac{1}{4}\, cos2x+C_1\, x+C_2}$  

$\bf \displaystyle 3)\ \ y''+4y'+4y=0$  - ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

Характеристическое уравнение :   $\bf k^2+4k+4=0\ \ ,\ \ (k+2)^2=0\ \ ,\ \ k_1=k_2=-2$  

Решение :  $\bf y=e^{-2x}\cdot (C_1+C_2x)$  

$\bf \displaystyle 4)\ \ y'=2y\ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{dy}{dx}=2y\ \ ,\ \ \int \frac{dy}{2y}=\int dx\ \ ,\\\\\frac{1}{2}\cdot ln|\, y\, |=x+C\ \ ,\ \ ln\sqrt{y}=x+C\ \ ,\ \ \sqrt{y}=e^{x+C}\ \ ,\ \ \underline{y=e^{2x+2C}}$  

$\bf \displaystyle 5)\ \ y'=x+5\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{dy}{dx}=x+5\ \ ,\ \ \int dy=\int (x+5)\ \ ,\\\\\underline{y=\frac{(x+5)^2}{2}+C}$