6.8. Какую цифру нужно записать вместо буквы с, чтобы число 28с делилось на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11 без остатка?
6.9. Докажите, что разность: 1) ab-ba; 3) a, a....an - a a ......а, кратна 9.
6.10. При каких значениях цифры с число: 1) 123c; 2) 3120с крат- но 11? 2) abc - cba
даю 50 балов
Ответы
Ответ:
6.8 Итак, чтобы число 28с делилось на 2, 3, 4, 6 и 11, необходимо записать цифру 4 вместо буквы с.
6.9 Для любых чисел a и b, разность ab - ba можно записать в виде (a-b)b. Заметим, что a-b дает нам разность двух чисел, которые могут быть записаны в виде 10x + y и 10y + x, где x и y - цифры. Тогда a - b = 9(x - y), что является кратным 9. Таким образом, (a-b)b является произведением двух множителей, один из которых кратен 9, следовательно, разность ab - ba кратна 9.
Для любых чисел a1, a2, ..., an разность a1 a2 ... an - a1 a2 ... an можно записать в виде a1(a2 ... an - 1). Заметим, что a2 ... an - 1 дает нам разность n-1 числа, которые могут быть записаны в виде 10^k для некоторого k, то есть в виде суммы девяток: 10^k - 1 = 9 \cdot (111...1), где 111...1 состоит из k единиц. Таким образом, a2 ... an - 1 является произведением n-1 множителей, каждый из которых является суммой девяток, и, следовательно, кратен 9. Таким образом, a1(a2 ... an - 1) является произведением двух множителей, один из которых кратен 9, и, следовательно, разность a1 a2 ... an - a1 a2 ... an кратна 9.
9.10 Чтобы число 123c было кратно 11, необходимо, чтобы разность между суммой цифр чисел, стоящих на четных местах, и суммой цифр чисел, стоящих на нечетных местах, была кратна 11. Сумма цифр на четных местах равна 2 + c, а сумма цифр на нечетных местах равна 3 + 1 = 4. Разность равна (2 + c) - 4 = c - 2. Эта разность должна быть кратна 11, поэтому необходимо, чтобы c - 2 была кратна 11. Значит, c должна быть равна 2 или 13. Однако, так как c - цифра, то она не может быть равна 13. Таким образом, единственное возможное значение для c - это 2.
Для того чтобы число 3120c было кратно 11, необходимо, чтобы разность между суммой цифр чисел, стоящих на четных местах, и суммой цифр чисел, стоящих на нечетных местах, была кратна 11. Сумма цифр на четных местах равна c + 1, а сумма цифр на нечетных местах равна 2 + a + 3 = a + 5. Разность равна (c + 1) - (a + 5) = c - a - 4. Эта разность должна быть кратна 11, поэтому необходимо, чтобы c - a - 4 была кратна 11.
Таким образом, мы получили условие на разность между цифрами a и c: c - a - 4 должно быть кратно 11. Можно заметить, что когда c увеличивается на 11, то разность c - a - 4 также увеличивается на 11. Таким образом, мы можем перебрать значения c от 0 до 9 и проверить, при каких значениях c разность c - a - 4 будет кратна 11. Например, при c = 5, разность равна 1 - a, которая будет кратна 11 только при a = 1 или a = 12. При c = 6, разность равна 2 - a, которая будет кратна 11 только при a = 2 или a = 13. И так далее. Мы видим, что для каждого значении c, кратного 11, существует ровно два значения a, при которых разность c - a - 4 кратна 11. Таким образом, возможные значения для a и c такие, что c - a - 4 кратно 11 и c - 4 и a - 0, 1, 2, ..., 9 кратны 11.
Чтобы число abc - cba было кратно 9, необходимо, чтобы сумма его цифр была кратна 9. Заметим, что сумма цифр числа abc - cba равна a + b + c - c - b - a = 0. Это значит, что любые значения для a, b и c будут удовлетворять условию кратности числа 9. Таким образом, число abc - cba всегда будет кратно 9.
Пошаговое объяснение:
6.8 Для того чтобы число 28с делилось на 2, необходимо, чтобы последняя цифра числа была четной. Так как 8 является четной цифрой, то здесь условие уже выполнено.
Для того чтобы число 28с делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Сумма цифр числа 28с равна 2 + 8 + с = 10 + с. Сумма должна быть кратна 3, поэтому необходимо, чтобы 10 + с была кратна 3. Это выполнено, когда с = 1 или с = 4 или с = 7.
Для того чтобы число 28с делилось на 4, необходимо, чтобы его последние две цифры были кратны 4. Последние две цифры в числе 28с равны с, так что необходимо, чтобы с была четной цифрой. Это уже выполнено, так как мы ранее установили, что с должна быть четной.
Для того чтобы число 28с делилось на 5, последняя цифра должна быть 5 или 0. Здесь это условие не выполняется, так что число 28с не делится на 5.
Для того чтобы число 28с делилось на 6, оно должно делиться и на 2, и на 3. У нас уже есть условия для того, чтобы 28с делилось на 2 и на 3, так что оно действительно делится на 6.
Для того чтобы число 28с делилось на 10, последняя цифра должна быть 0. Здесь это условие не выполняется, так что число 28с не делится на 10.
Для того чтобы число 28с делилось на 11, необходимо, чтобы разность между суммой цифр числа, стоящих на четных местах, и суммой цифр числа, стоящих на нечетных местах, была кратна 11. Сумма цифр на четных местах равна 8 + с, а сумма цифр на нечетных местах равна 2. Разность равна 8 + с - 2 = 6 + с. Эта разность должна быть кратна 11, поэтому необходимо, чтобы 6 + с была кратна 11. Это выполнено, когда с = 5 или с = 0.