Обчисліть границю функцій:
а)lim x -> ∞ (x ^ 3 - 2x ^ 2 + x + 2)/(x ^ 3 + 2x ^ 2 - x - 1)
б)lim x -> 3 (3 - x)/(sqrt(x - 2) - 1)
Ответы
Ответ:
а) Розділимо чисельник і знаменник на x³:
lim x -> ∞ [(x³ - 2x² + x + 2)/x³] / [(x³ + 2x² - x - 1)/x³]
За правилом дробу ліміт дорівнює дробу лімітів:
lim x -> ∞ (x³ - 2x² + x + 2)/x³ = lim x -> ∞ (1 - 2/x + 1/x² + 2/x³)
lim x -> ∞ (x³ + 2x² - x - 1)/x³ = lim x -> ∞ (1 + 2/x - 1/x² - 1/x³)
Тоді:
lim x -> ∞ [(1 - 2/x + 1/x² + 2/x³) / (1 + 2/x - 1/x² - 1/x³)]
За правилом скорочення дробів, викинемо знаменники з найвищих степенів:
lim x -> ∞ (1 / 1) = 1
Отже, границя функції дорівнює 1.
б) Перетворимо вираз під коренем, щоб уникнути ділення на нуль:
lim x -> 3 [(3 - x)/(sqrt(x - 2) - 1)] * [(sqrt(x - 2) + 1)/(sqrt(x - 2) + 1)]
Розкриємо дужки в чисельнику:
lim x -> 3 [(3 - x)(sqrt(x - 2) + 1)] / (x - 2 - 1)
lim x -> 3 [(3 - x)(sqrt(x - 2) + 1)] / (x - 3)
Застосуємо правило добутку лімітів:
lim x -> 3 (3 - x) * lim x -> 3 (sqrt(x - 2) + 1) / lim x -> 3 (x - 3)
Тоді:
lim x -> 3 (3 - x) = 0
lim x -> 3 (sqrt(x - 2) + 1) = sqrt(1) + 1 = 2
lim x -> 3 (x - 3) = 0
Отже, границя функції дорівнює 0 * 2 / 0, що є невизначеним виразом. Для подальшого розрахунку потрібно провести додаткові перетворення.