Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!
із точки О,яка належить бісектрисі ВМ трикутника АВС, проведено перпендикуляри ОК і ОF, відповідно до сторін АВ і АС. доведіть що коли ОК=ОF,то точка О центр кола,вписаного в трикутник АВС.

Answer 1

Для доведення того, що точка О є центром кола, вписаного в трикутник АВС, треба довести, що відрізок Кf є діаметром кола.

За умовою задачі, ОК є перпендикуляром до сторони АВ, тому він є висотою в трикутнику АВО. Аналогічно, Оf є висотою в трикутнику АСО.

Оскільки ОК = Оf, тоді трикутник АВО дорівнює трикутнику АСО за катетами і гіпотенузами. Звідси випливає, що відрізок Кf є серединним перпендикуляром до сторони АС і є відрізком, який ділить сторону АС навпіл.

Таким чином, відрізок Кf проходить через точку дотику кола, вписаного в трикутник АВС, до сторони АС (це можна легко довести за допомогою взаємної вписаності кутів, утворених в точці дотику).

Отже, відрізок Кf є діаметром кола, вписаного в трикутник АВС, а точка О є його центром.