Question

как найти сходимость ряда (3^n+5^n)/15^n

Answer 1

Для нахождения сходимости ряда необходимо использовать признак сравнения.

Для этого нужно найти сходящийся ряд, который будет ограничивать исходный ряд сверху или снизу.

Обратим внимание, что числитель нашего ряда равен сумме двух слагаемых 3^n и 5^n. Рассмотрим отдельно каждое из них.

Так как 5^n > 3^n для любого n>1, то

5^n < 3^n + 5^n < 2*5^n.

Выражение слева сходится, а выражение справа расходится (это можно увидеть, подставив n=1,2,3,...).

Тогда, используя признак сравнения, можно заключить, что наш ряд сходится, так как он ограничен сверху сходящимся рядом 2*(5^n)/15^n = (2/3)^n.

Таким образом, ряд (3^n+5^n)/15^n сходится.