9клас, прогрессии 100!!!!
Знаменник геометричної прогресії, дорівнює 1/3 четвертий член цієї прогресії дорівнює 1/54, а сума всіх її членів дорівнює 121/162. Знайдіть число членів прогресії.
Ответы
Пусть первый член прогрессии равен а, а знаменатель равен q. Тогда:
второй член: аq;
третий член: аq^2;
четвертый член: аq^3 = 1/54.
Отсюда находим q = (1/54)^(1/3) = 1/3.
Тогда из уравнения суммы членов прогрессии:
S = a(1 - q^n)/(1 - q) = 121/162
найдем a:
a = (121/162)(1 - q)/(1 - q^n) = 11/18.
Из уравнения для четвертого члена находим аq^3 = 1/54 и подставляем значения a и q:
(11/18)(1/3)^3 = 1/54
Отсюда находим n = 6.
Ответ: число членов прогрессии – 6.
Ответ:
За умовою задачі, знаменник геометричної прогресії дорівнює 1/3, а четвертий член прогресії дорівнює 1/54.
Для знаходження першого члена прогресії використаємо формулу для членів геометричної прогресії:
a1 = a4 / r^3,
де a1 - перший член прогресії, a4 - четвертий член прогресії, r - знаменник прогресії.
Підставляємо в формулу відомі значення:
a1 = (1/54) / (1/3)^3 = 1/54 * 27 = 1/2
Тепер можна знайти суму всіх членів прогресії за формулою:
S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r),
де S - сума всіх членів прогресії, n - кількість членів прогресії.
Підставляємо в формулу відомі значення:
121/162 = (1/2) * (1 - (1/3)^n) / (1 - 1/3)
121/162 = (1/2) * (1 - (1/3)^n) * 3/2
121/162 = (3/4) - (1/4)*(1/3)^n
(1/4)*(1/3)^n = 3/4 - 121/162
(1/4)*(1/3)^n = 11/162
(1/3)^n = 11/3 * 162
(1/3)^n = 22/27
n*log(1/3) = log(22/27)
n = log(22/27) / log(1/3)
n ≈ 5.9
Оскільки кількість членів прогресії має бути цілим числом, то найбільш близьким значенням є n = 6.
Отже, кількість членів геометричної прогресії дорівнює 6.
Объяснение: