Основа прямого паралелепіпеда - паралелограм, сторони якого дорівнюють 3см і 5 см, а кут між ними - 60°. Менша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть обʼєм паралелепіпеда.
Ответы
Ответ:
$6.85,\text{см}^3$.
Объяснение:
Позначимо за $a$ і $b$ сторони паралелограму, тобто $a = 3,\text{см}$ і $b = 5,\text{см}$. Кут між сторонами паралелограму дорівнює $60^\circ$.
Знайдемо довжину меншої діагоналі паралелепіпеда. Позначимо за $d$ довжину меншої діагоналі. Тоді за теоремою Піфагора для трикутника, утвореного меншою діагоналлю, площиною основи і висотою, маємо:
(
�
/
2
)
2
+
(
�
/
2
)
2
+
(
�
/
2
)
2
=
ℎ
2
,
(d/2)
2
+(a/2)
2
+(b/2)
2
=h
2
,
де $h$ — висота паралелепіпеда. Враховуючи, що кут між меншою діагоналлю і площиною основи дорівнює $45^\circ$, отримаємо:
�
2
=
2
�
2
+
2
�
2
.
d
2
=2a
2
+2b
2
.
Обʼєм паралелепіпеда можна знайти як добуток площі основи на висоту:
�
=
�
�
ℎ
.
V=abh.
Залишилося знайти висоту $h$. З рисунку видно, що висота паралелепіпеда є довжиною відрізка, проведеного з вершини, протилежної площині основи, до площини, яка містить меншу діагональ. Оскільки цей відрізок є висотою трикутника зі сторонами $a/2$, $b/2$ і $d/2$, то за теоремою Піфагора маємо:
ℎ
2
=
(
�
/
2
)
2
−
(
(
�
/
2
)
2
+
(
�
/
2
)
2
)
.
h
2
=(d/2)
2
−((a/2)
2
+(b/2)
2
).
Зведемо всі результати в одну формулу:
�
=
�
�
(
�
/
2
)
2
−
(
(
�
/
2
)
2
+
(
�
/
2
)
2
)
.
V=ab
(d/2)
2
−((a/2)
2
+(b/2)
2
)
.
Підставляємо вирази для $a$, $b$ і $d$:
�
=
3
см
⋅
5
см
⋅
(
2
см
)
2
−
(
(
3
см
)
2
/
4
+
(
5
см
)
2
/
4
)
≈
6.85
см
3
.
V=3см⋅5см⋅
(2см)
2
−((3см)
2
/4+(5см)
2
/4)
≈6.85см
3
.
Отже, обʼєм паралелепіпеда становить приблизно $6.85,\text{см}^3$.