Question

В арифметической прогрессии для любых m и n≠1 Sm/Sn= m^2/n^2 . Доказать, что аm/аn= (2m –1)/(2n – 1)​

Answer 1

Используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии, имеем:

Sm = (a1 + an) * n / 2 + (a1 + (n-1)*d) * n / 2 + ... + (a1 + (m-1)*d) * n / 2

Sn = (a1 + an) * n / 2 + (a1 + (n-1)*d) * n / 2 + ... + (a1 + (n-1)*d) * n / 2

где d - разность прогрессии.

Вычтем из первого выражения второе:

Sm - Sn = ((a1 + (m-1)*d) * n / 2 - (a1 + (n-1)*d) * n / 2)

Выражаем данное отношение через разность и номера членов:

Sm - Sn = ((a1 + (m-1)*d) - (a1 + (n-1)*d)) * (m + n) / 2

Sm - Sn = (m - n) * (a1 + (m-1)*d + a1 + (n-1)*d) * n / 2

а также выражение из условия:

Sm / Sn = m^2 / n^2

Подставляем полученные выражения и сокращаем общие множители:

(m - n) * (a1 + (m-1)*d + a1 + (n-1)*d) * n / 2 = (m + n) * m^2 / n^2

(m - n) * (2a1 + (m+n-2)*d) * n = 2m^2 * (m + n)

Выражаем аn и am через a1 и d:

an = a1 + (n-1)*d

am = a1 + (m-1)*d

Подставляем в полученное выражение:

(m - n) * (2a1 + (m+n-2)*((am-an)/(m-n))) * n = 2m^2 * (m + n)

(2m-1) * (a1 + (m-1)*d) = (2n-1) * (a1 + (n-1)*d)

am / an = (2m-1) / (2n-1)

что и требовалось доказать.