Question

Найти общее решение (обзий интеграл) дифференционое уравнение первого порядка (x^2+1)*y'-xy=x^3+x

Answer 1

Ответ:

Решение дифференциального уравнения:

$\boldsymbol{\boxed{y= x^{2} + 1 + C_{5}\sqrt{x^{2} +1} }}$

Пошаговое объяснение:

$(x^{2} +1)y' -xy = x^{3} + x$

$(x^{2} +1)y' -xy = x(x^2 + 1) |:(x^{2} +1)$

$y' + \dfrac{-x}{x^{2} +1} \cdot y = x$ - линейной дифференциальное уравнение первого порядка

$\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{x}{x^{2} +1} \cdot y = x$

1)

$\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{x}{x^{2} +1} \cdot y = 0$

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{x^{2} +1} \cdot y$

----------------------------------------------------------------------

$y = 0$ - не является решением

----------------------------------------------------------------------

$\dfrac{dy}{y} = \dfrac{x}{x^{2} +1} \, dx$

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{y} = \int \dfrac{x}{x^{2} +1} \, dx$

$\displaystyle \int \dfrac{dy}{y} =\frac{1}{2} \int \dfrac{d(x^{2} +1)}{(x^{2} +1)}$

$\ln|y| = \dfrac{1}{2} \ln |x^{2}+1 | + C_{1}$

$\ln|y| = \ln |\sqrt{x^{2} +1}| + \ln|C_{2}|$

$\ln|y| = \ln| C_{2}\sqrt{x^{2} +1} |$

$y = C_{2}\sqrt{x^{2} +1}$

Пусть $y = C(x)\sqrt{x^{2} +1}; C = C(x)$

$\dfrac{d}{dx} \bigg (C\sqrt{x^{2} +1} \bigg ) - \dfrac{Cx\sqrt{x^{2} +1}}{x^{2} +1} = x$

$\sqrt{x^{2} +1} \ \dfrac{dC}{dx} + \dfrac{xC}{\sqrt{x^{2} +1} } - \dfrac{xC\sqrt{x^{2} +1}}{\sqrt{x^{2} +1} \cdot \sqrt{x^{2} +1}} = x$

$\sqrt{x^{2} +1} \ \dfrac{dC}{dx} + \dfrac{xC}{\sqrt{x^{2} +1} } - \dfrac{xC}{\sqrt{x^{2} +1} } = x$

$\sqrt{x^{2} +1} \ \dfrac{dC}{dx} =x$

$dC = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} +1} } \, dx$

$\displaystyle \int dC = \int \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} +1} } \, dx$

----------------------------------------------------------------------------------------------------

а)

$\displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} +1} } \, dx =$

------------------------------------------------------------------------------

Замена: $t = \sqrt{x^{2} +1} \Longrightarrow t^{2} = x^{2} +1$

$(t^{2})' \ dt= (x^{2} +1)' \ dx$

$2t \ dt = 2x \ dx|:2$

$t \ dt = x \ dx$

------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = \int { \dfrac{t}{t} } \, dt = \int dt = t + C_{3} = \sqrt{x^{2} +1} + C_{3}$

б)

$\displaystyle \int dC = C + C_{4}$

----------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle \int dC = \int \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} +1} } \, dx$

$C + C_{4} = \sqrt{x^{2} +1} + C_{3}$

$C = \sqrt{x^{2} +1} + C_{3} - C_{4}$

$C = \sqrt{x^{2} +1} + C_{5}$

Решением дифференциального уравнения $(x^{2} +1)y' -xy = x^{3} + x$ есть функция:

$y = \sqrt{x^{2} +1}(\sqrt{x^{2} +1} + C_{5}) = x^{2} + 1 + C_{5}\sqrt{x^{2} +1}$

$\boxed{y= x^{2} + 1 + C_{5}\sqrt{x^{2} +1} }$